[論文レビュー] On Serre duality for compact homologically smooth DG algebras

Dmytro Shklyarov|ArXiv.org|Feb 20, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、コンパクトでホモロジカルに滑らかなDG代数に対して、2つの主要な結果を証明することにより、Serre双対性を確立する。すなわち、Hochschildホモロジーの有限次元性と、値が基本体kにとるHHₙ(A)とHH₋ₙ(A)の間に非退化性をもつ双対性ペアリングの存在である。証明は、完全モジュールの導来圏同値と双対性の性質に依拠し、滑らかな射影的代数的多様体における古典的Serre双対性を、非可換DG代数の設定へと拡張する。

ABSTRACT

The bounded derived category of coherent sheaves on a smooth projective variety is known to be equivalent to the triangulated category of perfect modules over a DG algebra. DG algebras, arising in this way, have to satisfy some compactness and smoothness conditions. In this paper, we describe a Serre functor on the category of perfect modules over an arbitrary compact and smooth DG algebra and use it to prove the existence of a non-degenerate pairing on the Hochschild homology of the DG algebra. This pairing is an algebraic analog of a well-known pairing on the Hodge cohomology of a smooth projective variety.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的多様体における古典的Serre双対性を、コンパクトでホモロジカルに滑らかなDG代数へと拡張すること。
• このようなDG代数に対してHochschildホモロジーの有限次元性を確立すること。
• 幾何学的Serre双対性に類似する、HHₙ(A) × HH₋ₙ(A) → k という非退化ペアリングの構成。
• Hochschildホモロジーを通じて、非可換代数的幾何学におけるホッジ的不変量のフレームワークを提供すること。
• 特に、Connesの微分作用素BがHochschildホモロジー上で消えるという既知の結果に対して、特別な場合の別証明を提供すること。

提案手法

• 滑らかな射影的多様体Xとコンパクトでホモロジカルに滑らかなDG代数Aに対して、Dᵇ(Coh X)とD_per(A)の導来圏同値性を利用する。
• 導来圏における、テンソル積と導来Homファンクターを用いた双対性同型を適用する。
• 完全モジュールNと任意のモジュールMに対して、RHom_A(N, M) ≅ M ⊗ᴸ_A N∨ という標準的同型を用いる。
• 完全モジュールに対して、N∨ = Hom_A(N, A) および二重双対同型 N ≅ (N∨)∨ を用いる。
• 導来Homとテンソル積を関連付けるため、同型 Hom_{D(A^e)}(A, N ⊗_k M*) ≅ Hom_{D(A)}(M, N) を適用する。
• DG代数が非正の次数に集中している場合、HHₙ(A) は n > 0 に対して消えることを利用し、ペアリングが有限次元性を示すようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトでホモロジカルに滑らかなDG代数のHochschildホモロジーは、依然として有限次元であるか？
• RQ2 このような代数に対して、代数幾何学におけるSerre双対性に類似した、HHₙ(A)とHH₋ₙ(A)の間の非退化ペアリングが存在するか？
• RQ3 非可換設定における双対性から、Connesの微分作用素BがHochschildホモロジー上で消えることは導けるか？
• RQ4 この双対性フレームワークを用いて、特別な場合にホッジからde Rhamへの退化予想を回復できるか？
• RQ5 Dᵇ(Coh X) ≃ D_per(A) の導来圏同値性は、非可換状況においてHochschildホモロジーがホッジコホモロジー構造を捉えていることを示唆するか？

主な発見

• コンパクトでホモロジカルに滑らかなDG代数AのHochschildホモロジーは、全次数において有限次元である。
• すべてのnに対して、HHₙ(A) × HH₋ₙ(A) → k という非退化ペアリングが存在し、非可換設定へのSerre双対性の一般化が達成される。
• DG代数が非正の次数に集中している場合、Hochschildホモロジーは次数0に集中する。これは双対性ペアリングの結果である。
• ペアリングの存在は、Connesの微分作用素BがHHₙ(A)上で消えることを示し、非可換ホッジからde Rhamへの退化予想の特別なケースを確認する。
• 双対性フレームワークにより、関係をもつクーヴィー代数のHochschildホモロジーの計算に対する別証明が得られる。
• 導来圏同値性 Dᵇ(Coh X) ≃ D_per(A) は、HHₙ(X) ≅ HHₙ(A) という同型を誘導し、Hochschildホモロジーが非可換状況におけるホッジコホモロジーの適切な非可換置換であることを示す。