[論文レビュー] Generic Ma\~n\'e sets

Gonzalo Contreras|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンパクト多様体上のトンネリラグランジアンに対する $C^2$ 一般の双曲的マナーセットが周期軌道を含むことを証明する。次元2の場合、先行する一般の双曲性に関する結果と組み合わせることで、マナーコンjectureを確認する：$C^2$ 一般のポテンシャル $f$ に対して、$L + f$ のマナーセットは双曲的周期軌道である。これは、最小力学が双曲的周期軌道に支持される稠密なラグランジアンの族を確立する。

ABSTRACT

Abstract. We prove that C2 generic hyperbolic Mañe ́ sets contain a periodic orbit. In dimension 2, adding a result with A. Figalli and L. Rifford [9], we obtain Mañé’s Conjecture [18] for surfaces in the C2 topology. Let M be a closed riemannian manifold. A Tonelli Lagrangian is a C2 function L: TM → R such that it is (i) Convex: ∀(x, v) ∈ TM, ∂2vvL(x, v) is positive definite. (ii) Superlinear: ∀A> 0 ∃B> 0 such that ∀(x, v) ∈ TM: L(x, v)> A |v|x −B. Given k ∈ R, the Mañe ́ potential is defined as φk: M ×M → R ∪ {−∞} as φk(x, y): = inf γ∈C(x,y) k + L(γ, γ̇), where C(x, y): = {γ: [0, T]→M absolutely continuous | T> 0, γ(0) = x, γ(T) = y}. The Mañe ́ critical value is c(L): = sup { k ∈ R | ∃x, y ∈M: φk(x, y) = − ∞}. See [11] for several characterizations of c(L). A curve γ: R→M is semistatic if ∀s < t: ∫ t s c(L) + L(γ, γ̇) = φc(L)(γ(s), γ(t)). The Mañe ́ set of L is N ̃ (L): = {(γ(t), γ̇(t)) ∈ TM | t ∈ R, γ: R→M is semistatic}. The Euler-Lagrange equation d

研究の動機と目的

• $C^2$ 一般の双曲的マナーセットが周期軌道を含むことを確立すること。
• コンパクトな曲面に対して、トンネリラグランジアンの $C^2$ 一般の摂動が、双曲的周期軌道であるマナーセットを生じることを証明すること。
• 2次元多様体において、$C^2$ 位相でマナーコンジェクチャを確認すること。具体的には、マナーセットが双曲的周期軌道であるようなポテンシャルの集合が、開かつ稠密であることを示すこと。
• 双曲的マナーセットの双曲性が、有限型の部分シフトの上へのサスペンションフローによる力学のモデル化を示唆すること。
• マナーセットに支持される最小測度が、有限型部分シフト上のサスペンションフローにおける不変測度に引き上げられることを示し、力学と記号的力学を結びつけること。

提案手法

• $C^2$ 位相におけるマナーセット写像 $\phi \mapsto \widetilde{\mathcal{N}}(L + \phi)$ の上半連続性を用いて、摂動と構造的安定性を関連付ける。
• 記号的力学とシャローピング理論の結果を応用し、双曲的集合を周期軌道で近似する。
• ラジアル射影を用いて、小さな摂動に対してエネルギー面 $E^{-1}\{c(L)\}$ を単位接束 $SM$ に同一視する。
• ラジアル射影による共役を介して、$SM$ 上に $C^1$ フローの連続族を構成し、双曲性理論の適用を可能にする。
• $C^2$ 小さな摂動において双曲的集合が安定であることを用いて、$\widetilde{\mathcal{N}}(L)$ の力学を有限型部分シフト上のサスペンションフローに引き上げる。
• 構造的安定性と拡張性の議論を適用し、ポテンシャルの小さな摂動に対しても双曲的周期軌道が存続することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C^2$ 一般の双曲的マナーセットがトンネリラグランジアンに対して周期軌道を含むか。
• RQ2 コンパクト曲面上で、$L + \phi$ のマナーセットが双曲的周期軌道であるような $C^2$ ポテンシャルの集合が、開かつ稠密か。
• RQ3 固定点のない双曲的マナーセットの力学は、有限型部分シフト上のサスペンションフローによってモデル化可能か。
• RQ4 ポテンシャル $\phi$ の $C^2$ 小さな摂動に対して、マナーセットはどのように振る舞うか。
• RQ5 マナーセットに支持される最小測度と、記号的系における不変測度の関係は何か。

主な発見

• $\widetilde{\mathcal{N}}(L_0 + \phi)$ が双曲的であるような $C^2$ ポテンシャルの集合 $\mathcal{H}^2(L_0)$ は開集合であり、その閉包には、マナーセットが周期軌道を含むようなすべてのポテンシャルが含まれる。
• $\dim M = 2$ の場合、$\mathcal{H}^2(L_0)$ は $C^2(M, \mathbb{R})$ において開かつ稠密であり、この設定でマナーコンジェクチャが確認される。
• $\widetilde{\mathcal{N}}(L_0 + \phi)$ が双曲的周期軌道または特異点であるようなポテンシャルの集合 $\mathcal{HP}^2(L_0)$ は、$\mathcal{H}^2(L_0)$ において開かつ稠密である。
• 固定点のない双曲的マナーセットは、有限型部分シフト上のサスペンションフローとしての位相的モデルを備え、エネルギー面上へのフロー制限と連続な同相写像が存在する。
• マナーセットの近傍で定義された任意の不変測度は、サスペンションフロー上への不変測度に引き上げられ、その測度が最小であるための必要十分条件は、その引き上げが $L + \phi$ の作用を最小化することである。
• $\widetilde{\mathcal{N}}(L)$ に固定点が存在しないとき、エネルギー面 $E_{L}^{-1}\{c(L)\}$ は $SM$ に微分同相であるため、単位接束を用いた一様な力学の取り扱いが可能になる。