[論文レビュー] Generic singular continuous spectrum for ergodic Schrödinger operators

Artur Avila, David Damanik|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2004

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、エルゴディック・シュレーディンガー作用素における一般の連続ポテンシャルに対して、絶対連続スペクトルが存在しないことを確立する。不連続ポテンシャルによる近似とコタニ理論を用いて、連続関数空間における絶対連続スペクトルがゼロである関数の集合が、残渣的（residual）であることを証明し、弱い正則性仮定のもとで特異連続スペクトルが一般であることを示す。

ABSTRACT

We consider Schrödinger operators with ergodic potential $V_ω(n)=f(T^n(ω))$, $n \in \Z$, $ω\in Ω$, where $T:Ω o Ω$ is a non-periodic homeomorphism. We show that for generic $f \in C(Ω)$, the spectrum has no absolutely continuous component. The proof is based on approximation by discontinuous potentials which can be treated via Kotani Theory.

研究の動機と目的

• エルゴディック・シュレーディンガー作用素における一般の連続ポテンシャルに対して、絶対連続スペクトルが持続可能かどうかを特定すること。
• 連続ポテンシャル空間において、絶対連続スペクトルの不在が一般的な現象であるかどうかを調査すること。
• 連続ポテンシャルの集合で絶対連続スペクトルを持たないものが、$ C(\Omega) $ において残渣的であることを確立し、バーレーのカテゴリーの意味で一般性を示すこと。
• 連続性の仮定のもとでも、絶対連続スペクトルが一般ではないことを示し、解析的ポテンシャルを有する準周期系における期待とは対照的であることを明らかにすること。

提案手法

• リヤプノフ指数 $ \gamma $ を用いたコタニ理論の適用により、$ \{E \in \mathbb{R} : \gamma(E) = 0\} $ における絶対連続スペクトルを分析する。
• 不連続関数による連続関数の $ L^1 $-ノルム近似を用い、不連続ポテンシャルがコタニの結果により絶対連続スペクトルをゼロにすることを活用する。
• $ L^1 \cap L^\infty $ 上での写像 $ f \mapsto M(f) = |\{E \in \mathbb{R} : \gamma_f(E) = 0\}| $ の上半連続性の応用により、小規模な $ L^1 $-摂動に対しても絶対連続スペクトルがゼロである性質が安定することを保証する。
• 不連続関数を $ L^1 $-ノルムで近似し、$ M(f) $ の下半連続性を用いて、絶対連続スペクトルがゼロである連続関数の稠密な $ G_\delta $ 集合を構成する。
• バーレーのカテゴリー定理を用いて、$ C(\Omega) $ の関数 $ f $ で $ \Sigma_{\rm ac}(f) = \emptyset $ を満たす集合が残渣的であることを結論づけ、トポロジー的意味での一般性を示す。
• 一パrameter族 $ \lambda f $ への議論の拡張により、一般の $ f $ に対して、ほとんどすべての $ \lambda > 0 $ で $ \Sigma_{\rm ac}(\lambda f) = \emptyset $ であることを示し、$ \int_0^\Lambda M(\lambda f) d\lambda $ の下半連続性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エルゴディック・シュレーディンガー作用素における連続ポテンシャルのうち、絶対連続スペクトルの不在は一般的か？
• RQ2 不連続関数による近似を用いて、連続ポテンシャルに対しても絶対連続スペクトルの不在を確立できるか？
• RQ3 連続ポテンシャルに対する小規模な $ L^1 $-摂動に対しても、絶対連続スペクトルの不在は保持されるか？
• RQ4 連続ポテンシャルの集合の中で、絶対連続スペクトルが空集合であるような残渣的集合が存在するか？
• RQ5 一般の連続ポテンシャルに対して、すべての結合定数 $ \lambda > 0 $ に対して絶対連続スペクトルが存在しないか？

主な発見

• 一般の $ f \in C(\Omega) $ に対して、絶対連続スペクトル $ \Sigma_{\rm ac}(f) $ は空集合である。これは、バーレーのカテゴリーの意味で特異連続スペクトルが一般的であることを意味する。
• 連続関数で絶対連続スペクトルがゼロである関数の集合は、$ C(\Omega) $ において残渣的である。これは、開かつ稠密な集合の可算交差として表されるためである。
• $ L^1 \cap L^\infty $ 位相における写像 $ f \mapsto M(f) = |\{E \in \mathbb{R} : \gamma_f(E) = 0\}| $ は上半連続である。これにより、絶対連続スペクトルがゼロである性質が $ L^1 $-収束に対して安定することが保証される。
• 一般の $ f \in C(\Omega) $ に対して、ほとんどすべての $ \lambda > 0 $ で $ \Sigma_{\rm ac}(\lambda f) = \emptyset $ である。これは、結合定数の変動に対しても絶対連続スペクトルの不在が一般的であることを示している。
• この結果は、ポテンシャルの連続性だけでは、解析的ポテンシャルが典型的に絶対連続スペクトルをもたらすと予想される準周期的系でさえも、絶対連続スペクトルの存在を保証できないことを示唆している。
• 不連続ポテンシャルによる近似とコタニ理論に基づく証明戦略により、絶対連続スペクトルの不在は、ポテンシャルの $ L^1 $-収束に対して頑健であることが示された。