[論文レビュー] Genericity of contracting elements in groups

Wenyuan Yang|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、測度論的数え上げ測度において、統計的凸ココンパクト（SCC）群作用に関して、収縮的要素が指数的になお一般であることを確立する。純粋な指数的成長のもとでは、非収縮的要素の集合は成長的になお一般でなく、収縮的要素が漸近的に優勢であることを示す。主な結果として、相対的双曲的群、ランク1の要素をもつCAT(0)群、および純粋な指数的部分群をもつ写像類群における指数的一般性が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we establish that, for statistically convex-cocompact actions, contracting elements are exponentially generic in counting measure. Among others, the following exponential genericity results are obtained as corollaries for the set of hyperbolic elements in relatively hyperbolic groups, the set of rank-1 elements in CAT(0) groups, and the set of pseudo-Anosov elements in mapping class groups. Regarding a proper action, the set of non-contracting elements is proven to be growth-negligible. In particular, for mapping class groups, the set of pseudo-Anosov elements is generic in a sufficiently large subgroup, provided that the subgroup has purely exponential growth. By Roblin's work, we obtain that the set of hyperbolic elements is generic in any discrete group action on CAT(-1) space with finite BMS measure. Applications to the number of conjugacy classes of non-contracting elements are given for non-rank-1 geodesics in CAT(0) groups with rank-1 elements.

研究の動機と目的

• 群作用に収縮的要素が存在する場合、その数え上げ測度において収縮的要素が一般であるかどうかを特定すること。
• 統計的凸ココンパクト（SCC）作用のもとで、収縮的要素の指数的一般性を確立すること。
• 適切な作用またはSCC作用のもとで、非収縮的要素が成長的になお一般であるか、成長的につかみがたいかを証明すること。
• 相対的双曲的群、ランク1の要素をもつCAT(0)群、および写像類群といった特定のクラスに一般性の結果を拡張すること。
• CAT(0)群における非収縮的要素の共役類に結果を適用すること。

提案手法

• 成長率を測るため、臨界指数 ω(Γ) を limsup (log |N(o,n) ∩ Γ|)/n として定義する。
• 成長的になお一般（o(exp(ω(G)n))）および成長的につかみがたい（ω(X) < ω(G)）な部分集合を用いて、一般性を定量化する。
• SCC作用が純粋な指数的成長をもつこと、および障害のない集合が成長的につかみがたいことに関する先行研究の結果を活用する。
• 空間の擬似ツリーにおける射影技術を適用し、収縮的性質を用いて、測度球との交差部分集合の射影と直径を評価する。
• 直径の上限を用いた背理法的議論により、障害の存在や長大な射影の排除を行う。
• 射影距離の制御と軸上の群作用を用いて、(ε, Δ, f)-障害のない要素を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SCC群作用において、数え上げ測度において収縮的要素は指数的に一般であるか？
• RQ2 適切な作用のもとで純粋な指数的成長が成り立つ場合、非収縮的要素の集合は成長的になお一般であるか？
• RQ3 写像類群において、純粋な指数的部分群をもつ場合、収縮的要素の指数的一般性は成立するか？
• RQ4 写像類群の十分に大きな部分群において、擬アイソメトリック要素の一般性は成長条件に還元可能か？
• RQ5 ランク1の要素をもつCAT(0)群における、非収縮的要素の共役類の漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• SCC作用では、非収縮的要素の集合が成長的になお一般であるため、収縮的要素は指数的に一般である。
• 相対的双曲的群では、双曲的要素の集合は数え上げ測度において指数的に一般である。
• ランク1の要素をもつCAT(0)群では、非収縮的要素の集合が成長的になお一般であり、非収縮的要素の共役類は有限個である。
• 写像類群では、十分に大きな部分群 Γ が純粋な指数的成長をもつならば、擬アイソメトリック要素の集合は Γ において一般である。
• 任意の離散群作用がCAT(-1)空間に作用し、有限BMS測度をもつ場合、Roblinの結果により、双曲的要素の集合は一般である。
• 証明では、収縮的集合の測度近傍との交差部分集合の直径上限を用いて、特定の測地線的セグメントが(ε, Δ, f)-障害のないものであることを示した。