[論文レビュー] Genetic Algorithm for the 0/1 Multidimensional Knapsack Problem

Shalin Shah|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2019

Optimization and Packing Problems参考文献 4被引用数 36

ひとこと要約

本稿では、0/1多次元ナップサック問題に対する、反復的に計算されたラグランジュ乗数をグリーディクローニング演算子に統合した新規遺伝的アルゴリズムを提案する。制約をラグランジュ乗数で重み付けし、ユーティリティ比に基づく選択プロセスを用いることで、標準的なベンチマークインスタンスにおいて最適解または近似最適解を数秒で達成し、従来の手法よりも高速かつ高精度であることを示した。

ABSTRACT

The 0/1 multidimensional knapsack problem is the 0/1 knapsack problem with m constraints which makes it difficult to solve using traditional methods like dynamic programming or branch and bound algorithms. We present a genetic algorithm for the multidimensional knapsack problem with Java code that is able to solve publicly available instances in a very short computational duration. Our algorithm uses iteratively computed Lagrangian multipliers as constraint weights to augment the greedy algorithm for the multidimensional knapsack problem and uses that information in a greedy crossover in a genetic algorithm. The algorithm uses several other hyperparameters which can be set in the code to control convergence. Our algorithm improves upon the algorithm by Chu and Beasley in that it converges to optimum or near optimum solutions much faster.

研究の動機と目的

• 動的計画法や分枝限定法といった従来の手法では解くのが計算的に困難な0/1多次元ナップサック問題に対処すること。
• 特にChuとBeasleyのアルゴリズムと比較して、収束速度と解の品質を向上させること。
• 分野特有の知識（具体的には、ラグランジュ乗数による制約の重み付け）を遺伝的アルゴリズムの枠組みに統合し、探索を建設的に導くこと。
• 大規模インスタンスを効率的に解くことのできるスケーラブルで並列化可能な実装を開発すること。

提案手法

• 初期集団は、各オブジェクトを50%の確率で含むことで生成され、多様性を確保するが、同時に無効な解も生じる。
• ラグランジュ乗数は反復的に計算され、各制約に重み付けされ、制約の難易度を反映したオブジェクトのユーティリティ比が調整される。
• ユーティリティ比は、利益をすべての制約における（重み × ラグランジュ乗数）の合計で割り、制約数で正規化して算出される。
• グリーディクローニング演算子は、修正されたユーティリティ比の降順にオブジェクトを選択することで後代を構築し、すべての制約を満たすように保証する。
• アルゴリズムは、世代数などの設定可能なハイパーパrameterを備えており、コード内のConstants.javaで調整可能である。
• フレームワークはJavaおよびC++で実装されており、ORLIBやWeing/Weish/Sentoインスタンスなどの標準ベンチマークデータセットをサポートしている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ乗数に基づく制約重み付けを用いた遺伝的アルゴリズムは、従来のメタヒューリスティクスを上回る性能を示せるか？
• RQ2 ラグランジュ乗数で補正されたユーティリティ比に従うグリーディクローニングが、収束速度と解の品質に与える影響はいかほどか？
• RQ3 この手法は、多様なベンチマークインスタンスにおいて、最適解または近似最適解をどの程度達成できるか？
• RQ4 このアルゴリズムは大規模な問題インスタンスに効率的にスケーリング可能であり、並列化に適しているか？

主な発見

• Weish10, Weish15, Weish20, Weish25, Weish30インスタンスすべてが100%最適解として解かれたが、平均で1.5秒の実行時間であった。
• Weing7インスタンス（105オブジェクト、2制約）では、平均27.4秒で最適解に到達したが、20回の実行のうちたった1回のみ成功した。
• Sento1とSento2インスタンスは、それぞれ4.8秒および0.2秒で完全に解かれ、最適値からのギャップは0%であった。
• Weing5とWeing8インスタンスは、それぞれ0.6秒および2秒で完全に解かれ、最適性ギャップはなかった。
• Weish05, Weish10, Weish15のインスタンスにおいて、20回中16回で0%の最適性ギャップが達成され、小規模インスタンスにおいて高い信頼性を示した。
• この手法は収束速度においてChuとBeasleyのアルゴリズムを顕著に上回り、大多数のベンチマークインスタンスでより速く最適解に到達した。