[論文レビュー] Genus Two Zhu Theory for Vertex Operator Algebras

Thomas Patrick Gilroy, Tuite, Michael P.|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、2つのトーラスを接合して得られる genus 2 リーマン面上の頂点 operator 代数 (VOA) における n 点相関関数を、(n−1) 点関数のみで完全に表現する genus 2 Zhu 再帰公式を導入する。この手法は、一般化されたワイエルシュトラス関数とシーゲル上半平面における微分作用素に依拠し、分配関数、双微分形式、射影接続といった主要な対象に対する正則微分方程式を導出する。応用としては、ヘイゼンベルクおよびヴァラドール型 VOA への適用と、ヴァラドール型 VOA の特異ベクトル方程式における正則係数の証明が含まれる。

ABSTRACT

We consider correlation functions for a vertex operator algebra on a genus two Riemann surface formed by sewing two tori together. We describe a generalisation of genus one Zhu recursion where we express an arbitrary genus two $n$--point correlation function in terms of $(n-1)$--point functions. We consider several applications including the correlation functions for the Heisenberg vertex operator algebra and its modules, Virasoro correlation functions and genus two Ward identities. We derive novel differential equations in terms of a differential operator on the genus two Siegel upper half plane for holomorphic $1$--differentials, the normalised bidifferential of the second kind, the projective connection and the Heisenberg partition function. We prove that the holomorphic mapping from the sewing parameter domain to the Siegel upper half plane is injective but not surjective. We also demonstrate that genus two differential equations arising from Virasoro singular vectors have holomorphic coefficients.

研究の動機と目的

• 2つのトーラスを接合して得られる genus 2 Riemann 面への genus 1 Zhu 再帰の拡張を図り、VOA における相関関数の枠組みを一般化すること。
• コンformal weight に依存する一般化されたワイエルシュトラス関数を用いて、genus 2 の n 点関数を (n−1) 点関数に還元する形式的な再帰的恒等式を確立すること。
• 再帰の係数関数が正則であることを証明し、特に 1 次および 2 次微分形式に対して、正規化された双微分形式や射影接続といった主要な幾何的対象に対する正則微分方程式を導出すること。
• ヴァラドール型特異ベクトルから導かれる微分方程式が正則係数を持つことを示し、genus 2 の分配関数の収束性およびモジュラー性を支持すること。
• 接合パラメータの定義域の幾何的性質を分析し、シーゲル上半平面への誘導写像が単射であるが全射でないことを証明すること。

提案手法

• トーラスの接合に基づく接合手続きを用いて、無限級数による genus 1 相関関数の和として genus 2 相関関数を構成する。
• コンformal weight $N$ に依存する一般化された genus 2 ワイエルシュトラス関数（例：$^N\mathcal{P}_1$, $^N\mathcal{P}_2$）を定義し、これらを再帰係数として用いる。
• 各トーラス成分に genus 1 Zhu 再帰を適用した後、得られる再帰的恒等式系を解き、genus 2 再帰公式を導出する。
• シーゲル上半平面における微分作用素 $\nabla_x$ を用い、相関関数に対する微分方程式を表現する。この作用素は、セレル微分の一般化である。
• 係数関数の正則性を、正則微分形式および第二種の正規化された双微分形式に帰着させることで証明する。
• 閉形式で表された $^2\mathcal{P}_1$ および $^2\mathcal{P}_2$ の式を導出し、$N$-微分形式のリーマン・ロッホ次元と整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのトーラスを接合して得られる genus 1 Zhu 再帰を、genus 2 リーマン面にどのように一般化できるか。
• RQ2 任意の $N \geq 1$ に対して、一般化されたワイエルシュトラス関数 $^N\mathcal{P}_1(x,y)$ および $^N\mathcal{P}_2(x,y)$ の性質は何か。正則関数であるか。
• RQ3 genus 2 におけるヴァラドール型特異ベクトルから導かれる微分方程式の係数は正則か。
• RQ4 接合パラメータの定義域からシーゲル上半平面への写像の幾何的性質は何か。また、これにより相関関数のモジュラー性にどのような影響を与えるか。
• RQ5 $C_2$-cofinite VOA の genus 2 分配関数が正則微分方程式を満たすことを示せるか。

主な発見

• genus 2 Zhu 再帰は、還元されたベクトルの conformal weight $N$ に依存する一般化されたワイエルシュトラス関数を用いて、任意の $n$-点関数を $(n-1)$-点関数に表現する。
• $N=1$ の場合、1 点関数は 2 個の係数関数で表現される。$N \geq 2$ の場合、$2N-1$ 個の係数関数が用いられ、リーマン・ロッホにより $N$-微分形式の空間の次元と一致する。
• $N=1$ の係数関数は、正則 1-微分形式および第二種の正規化された双微分形式を用いて正則であることが示された。
• genus 2 のヴァラドール型 1 点関数は、接合パラメータに関する分配関数の微分として与えられ、genus 2 のウォード恒等式も同様の微分作用素を含む。
• $N=2$ の一般化されたワイエルシュトラス関数に対して、閉じた正則な公式が導出され、ヴァラドール型 $n$-点関数およびウォード恒等式におけるすべての係数の正則性が確認された。
• 接合定義域 $\mathcal{D}_{\text{sew}}$ からシーゲル上半平面への写像が正則であることが証明され、単射ではあるが全射ではない。