[論文レビュー] Geodesic curves on Shimura surfaces

Ted Chinburg, Matthew Stover|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非可約算術的格子による $\mathbf{H}^2 \times \u005c mathbf{H}^2$ や $\ mathbf{H}_{\ mathbb{C}}^2$ の商であるシムーラ面における測地線的曲線を、$K_0$-クaternion代数に結びつけることによって、可換性の意味で分類する。主な結果は、ある測地線的曲線が存在するならば、それとは互いに可換でない無限個の測地線的曲線が存在することであり、数体上のクaternion代数の分岐データによって完全にパラメータ化可能である。

ABSTRACT

We parametrize the commensurability classes of curves on Shimura surfaces that are totally geodesic, i.e., the commensurability classes of so-called $\mathbb{C}$-Fuchsian subgroups. In particular, if a Shimura surface contains one commensurability class of totally geodesic curves, it contains infinitely many.

研究の動機と目的

• シムーラ面におけるすべての測地線的曲線を可換性の意味で分類すること。
• シムーラ面の基本群内の $\u005c mathbb{C}$-フクスチアン部分群の構造を理解すること。
• これらの曲面上の完全測地的射影的曲線の可換性類を完全にパラメータ化すること。
• 一つのこのような曲線が存在するならば、それとは互いに可換でない無限個の曲線が存在することを確立すること。
• 特に $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) \times \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ および $\mathrm{SU}(2,1)$ に対して、算術的格子における測地的部分多様体に関する先行研究を統合・一般化すること。

提案手法

• 半単純リー群における算術的格子の理論を用いて、測地線的曲線を基本群内の算術的フクスチアン部分群に関連付ける。
• 特に指定されたアーチメデス的および有限位相で分岐する数体上のクaternion代数を用いた、非可約算術的格子の分類を適用する。
• $\Gamma \backslash \mathbf{H}^2 \times \mathbf{H}^2$ および $\Gamma \backslash \mathbf{H}_{\mathbb{C}}^2$ における完全測地的部分多様体と、特定の分岐条件を満たす $K_0$-クaternion代数との間の対応を構成する。
• $K^3$ 上のヘルミート形式およびその $K^2$-部分空間への制限を用いて、$\mathbf{H}^2$ から $\mathbf{H}_{\mathbb{C}}^2$ への正則埋め込みを実現し、これにより $\mathbb{C}$-フクスチアン部分群を得る。
• $\mathbb{C}$-フクスチアン部分群の可換性類と、すべての無限位相を除き、かつ有限個の非分裂素数で分岐する $K_0$-クaternion代数の $\mathrm{Aut}(K_0/\mathbb{Q})$-同型類との間の一対一対応を確立する。
• クaternion代数の算術およびヘルミート幾何学の既知の結果を活用して、分類の証明およびピカードモジュラー群に関する先行研究との同等性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シムーラ面における測地線的曲線の完全な分類（可換性の意味で）は何か？
• RQ2 シムーラ面が少なくとも一つの測地線的曲線を含む条件は何か？
• RQ3 シムーラ面の基本群内の $\mathbb{C}$-フクスチアン部分群の可換性類は、どのようにパラメータ化できるか？
• RQ4 測地線的曲線の幾何と関連するクaternion代数の算術の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 この分類は、ピカードモジュラー群やヒルベルトモジュラー面に関する先行研究をどのように一般化または関連付けるか？

主な発見

• シムーラ面に一つの測地線的曲線が存在するならば、それとは互いに可換でない無限個の測地線的曲線が存在する。
• $\Gamma \backslash \mathbf{H}^2 \times \mathbf{H}^2$ 上の測地線的曲線の可換性類は、すべての無限位相を除き、かつ有限個の非分裂素数で分岐する $K_0$-クaternion代数の $\mathrm{Aut}(K_0/\mathbb{Q})$-同型類と一対一に対応する。
• $\Gamma \backslash \mathbf{H}_{\mathbb{C}}^2$ については、すべての無限位相を除き、かつ有限個の非分裂非アーチメデス的位相で分岐する $K_0$-クaternion代数によって分類が与えられる。
• 関連するクaternion代数がすべてのアーチメデス的位相で分解している場合、測地線的曲線の存在は妨げられること（定理3.1および4.1で示された）。
• $\mathrm{SU}(2,1)$-型格子の分類は、ピカードモジュラー群に関するパーキンソンとポアリンの最近の研究を一般化し、クaternion代数の算術によって同等性が確立されている。
• パラメータ化は有効的かつ算術的に明示的であり、$K_0$-クaternion代数のヒルベルト記号および分岐データに依存している。