[論文レビュー] Geodesic Deviation Equation In $f(Q)$-Gravity

Jing-Theng Beh, Tee‐How Loo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2021

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、共変形式による場の運動方程式を用いて、$f(Q)$-重力における測地線ずれ方程式（GDE）を導出しており、一般相対性理論のGDEを対称平行接続重力へと拡張している。マティグ関係式を一般化し、不均一な $f(Q)$-重力モデルにおける宇宙論的距離のDyer-Roederに類似した方程式を定式化しており、主な結果として $f''(Q)$ に依存する焦点化項と非計量性寄与項が得られている。

ABSTRACT

In the present paper we study the Geodesic Deviation Equation (GDE) in the modified $f(Q)$-gravity theories. The formulation of GDE in General Relativity in the case of the homogeneous and isotropic Friedman-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) spacetime is briefly discussed and then extended in modified $f(Q)$-gravity using its covariant counterpart. The generalised Mattig relation is obtained. Finally, an equivalent expression to the Dyer-Roeder equation in General Relativity in the case of $f(Q)$-gravity is presented.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論の測地線ずれ方程式（GDE）を、共変形式を用いて $f(Q)$-重力へと拡張すること。
• フレドマン＝リーマン＝ロバートソン＝ウォーカー（FLRW）時空内における $f(Q)$-重力の角直径距離に対する一般化されたマティグ関係式を導出すること。
• 不均一性を滑らかさパラメータ $\tilde{\alpha}(z)$ を用いて扱う、$f(Q)$-重力におけるダイヤー＝ルーダーに類似した方程式を定式化すること。
• 非計量性および高次 $f''(Q)$ 項が測地線の焦点化および宇宙論的距離測定に与える影響を分析すること。

提案手法

• 非計量テンソル $Q_{\lambda\mu\nu}$ および変形テンソル $L^{\lambda}{}_{\mu\nu}$ を用いて、$f(Q)$-重力の共変場の運動方程式を定式化する。
• リーマン曲率を非計量テンソルおよびリーマン接続を用いて表現することで、$f(Q)$-重力におけるGDEを導出する。
• 宇宙論的文脈における測地線ずれをモデル化するため、基本的観測者および過去を向いた光線ベクトル場を伴うFLRW計量にGDEを適用する。
• $f(Q)$-重力から得られる修正されたフレドマン方程式を用いて、GDEを赤方偏移 $z$ に関する微分方程式に変換する。
• 不均一性をモデル化するため、一般相対性理論のダイヤー＝ルーダー手法に類似した質量分率パラメータ $\tilde{\alpha}(z)$ を導入する。
• エネルギー密度を $\tilde{\alpha}\rho$ に置き換え、焦点化項に $f''(Q)$-依存補正を組み込むことで、$f(Q)$-重力におけるダイヤー＝ルーダーに類似した方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論と比較して、$f(Q)$-重力における測地線ずれ方程式はどのように一般化されるか？
• RQ2 $f(Q)$-重力における角直径距離の一般化されたマティグ関係式の形は何か？
• RQ3 不均一性および非計量性を考慮した場合、$f(Q)$-重力におけるダイヤー＝ルーダー方程式はどのように適応されるか？
• RQ4 $f(Q)$ 関数の2階微分、特に $f''(Q)$ は、測地線の焦点化および距離測定をどのように修正するか？
• RQ5 $f(Q)$-重力のGDEは、どのような条件下で標準的一般相対性理論の結果に還元されるか？

主な発見

• 非計量テンソルおよび変形形式を用いて、共変形式で $f(Q)$-重力における測地線ずれ方程式が導出され、一般相対性理論の枠組みが対称平行接続重力へと拡張された。
• 一般化されたマティグ関係式は、赤方偏移 $z$ に関する2階微分方程式として得られ、$\Omega_{m0}$、$\Omega_{\Lambda}$、および $f''(Q)$-依存項に依存する係数を持つ。
• Dyer-Roederに類似した方程式は、$3\tilde{\alpha}(z)\Omega_{m0}(1+z)^3 - \frac{24\dot{H}f''}{f'}[\Omega_{m0}(1+z)^3 + \Omega_{DE}]$ に比例する修正された焦点化項を含み、非計量性および修正重力効果を反映している。
• $f(Q) = Q - 2\Lambda$ の極限において、導出された方程式は一般相対性理論の標準的Dyer-Roederおよびマティグ関係式に還元される。
• 角直径距離 $D_A(z)$ は、初期条件 $D_A(z_0) = 0$ および $dD_A/dz|_{z_0} = H_0 / [H(z_0)(1+z_0)]$ を満たす $f(Q)$-重力の修正フレドマン方程式に一致する2階常微分方程式を満たす。
• $f''(Q)$ 項の存在により、測地線の焦点化挙動に補正が生じ、不均一な $f(Q)$-重力モデルにおける宇宙論的距離測定の進化が変化する。