[論文レビュー] Geodesic flow on the Teichmueller disk of the regular octagon, cutting sequences and octagon continued fractions maps

John Smillie, Corinna Ulcigrai|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、正八角形のテイヒミュラー円板上の測地線流れと、線形軌道の記号的符号化のための連分数アルゴリズムとの間の幾何的関係を確立する。アルゴリズムをテイヒミュラー円板上の再スケーリングと解釈することで、八角形ファレー写像の自然拡張と不変測度を構成し、有限不変測度を持つ加速八角形ガウス写像を定義することで、モジュラー面上の古典的連分数と測地線流れの間の力学的類似性を完成させる。

ABSTRACT

In this paper we give a geometric interpretation of the renormalization algorithm and of the continued fraction map that we introduced in arxiv:0905.0871 to give a characterization of symbolic sequences for linear flows in the regular octagon. We interpret this algorithm as renormalization on the Teichmueller disk of the octagon and explain the relation with Teichmueller geodesic flow. This connection is analogous to the classical relation between Sturmian sequences, continued fractions and geodesic flow on the modular surface. We use this connection to construct the natural extension and the invariant measure for the continued fraction map. We also define an acceleration of the continued fraction map which has a finite invariant measure.

研究の動機と目的

• 正八角形のテイヒミュラー円板上の測地線流れと、線形軌道の記号的符号化のための連分数アルゴリズムとの間の力学的対応を確立すること。
• 連分数アルゴリズムをテイヒミュラー円板上の再スケーリングと解釈し、モジュラー面上の古典的ケースに類似したテイヒミュラー測地線流れと関連付けること。
• 八角形ファレー写像の自然拡張を構成し、その不変測度（無限大）を特定することと、有限不変測度を持つ加速写像（八角形ガウス写像）を定義すること。
• 正八角形内の線形流れの記号的力学と、ヴェーチ群および関連するテイヒミュラー円板のタイル張りの幾何との関係を明確にすること。

提案手法

• 正八角形のテイヒミュラー円板を、方向反転を含むアフィン変形の空間として定義し、表面の力学をモデル化する。
• 八角形のヴェーチ群を用いてテイヒミュラー円板のタイル張りを構成し、これにより再スケーリングのプロセスの基盤を提供する。
• SU からの連分数アルゴリズムを、テイヒミュラー円板上の再スケーリング写像と解釈し、表面の力学を介してテイヒミュラー測地線流れと結びつける。
• テイヒミュラー円板上の測地線流れの断面として八角形ファレー写像の自然拡張を特定する。
• 八角形ガウス写像をファレー写像の加速として定義し、有限不変測度の存在を保証する。
• 自然拡張の定義域における密度 $ \frac{du\,dv}{(u-v)^2} $ による不変測度の不変性を証明し、ファイバー統合を用いて八角形ガウス写像の不変測度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正八角形内の線形軌道の記号的符号化のための連分数アルゴリズムを、テイヒミュラー測地線流れを用いて幾何的にどのように解釈できるか？
• RQ2 八角形ファレー写像とテイヒミュラー円板上のテイヒミュラー測地線流れとの間の明確な関係は何か？
• RQ3 測地線流れの力学を用いて、八角形ファレー写像の自然拡張と不変測度をどのように構成できるか？
• RQ4 ヴェーチ群およびそのテイヒミュラー円板上への作用が、再スケーリングスキームを支える役割を果たすのはどのような点か？
• RQ5 ファレー写像の加速（八角形ガウス写像）がどのように有限不変測度をもたらし、その測度密度は何か？

主な発見

• 八角形ファレー写像の自然拡張は、領域 $ D_{\hat{G}} \subset \mathbb{R}\mathbb{P}^1 \times \mathbb{R}\mathbb{P}^1 $ 上の双射として構成され、密度 $ \frac{du\,dv}{(u-v)^2} $ による測度を保存する。
• 八角形ガウス写像はファレー写像の加速として定義され、有限不変測度を持つ。斜め座標における密度は、$ \sqrt{2} $ および $ 1+\sqrt{2} $ を含む区分的表現で与えられる。
• 八角形ガウス写像の不変測度は、自然拡張の密度をファイバーごとに統合することで導出され、以下の区分的密度が得られる：$ \frac{du}{u - \cot(\gamma(7\pi/8))} - \frac{du}{1+\sqrt{2}-u} $、$ \frac{du}{1+\sqrt{2}-u} $、および $ \frac{du}{\sqrt{2}-u} $ がそれぞれ異なる区間で与えられる。
• 領域 $ D_{\hat{G}} $ は2つの分割（18）および（19）を備えており、これらを用いて $ \hat{G} $ が $ D_{\hat{G}} $ へ写像し、かつ双射であることを証明する。
• $ \hat{G} $ が測度 $ \frac{du\,dv}{(u-v)^2} $ を保存することを、$ \hat{G} $ の逆像に集合を分解し、逆写像が分数線形変換であるという事実を用いて示す。
• この構成により、八角形ガウス写像が有限不変測度を持つことが確認され、古典的ガウス写像と類似した力学的類似性が完成する。