[論文レビュー] Geodesic mappings of (pseudo-) Riemannian manifolds preserve the class of differentiability

Irena Hinterleitner, Josef Mikeš|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、(擬-)リーマン多様体間の測地線写像が微分可能性クラスを保存することを確立している：$V_n \in C^r$（$r \geq 1$）が $\bar{V}_n \in C^1$ に測地線写像をもつならば、$\bar{V}_n \in C^r$ である。さらに、アインシュタイン空間からの非自明な測地線写像はアインシュタイン性を保存し、4次元で曲率が定数でない場合、その写像はアフィン的であり、スカラー曲率が非ゼロであればホモotheticであることも示している。

ABSTRACT

In this paper we prove that geodesic mappings of (pseudo-) Riemannian manifolds preserve the class of differentiability \hbox{$(C^r, r\geq1)$}. Also, if the Einstein space $V_n$ admits a non trivial geodesic mapping onto a \hbox{(pseudo-)} Riemannian manifold $\bar V_n\in C^1$, then $\bar V_n$ is an Einstein space. If a four-dimensional Einstein space with non constant curvature globally admits a geodesic mapping onto a (pseudo-) Riemannian manifold $\bar V_4\in C^1$, then the mapping is affine and, moreover, if the scalar curvature is non vanishing, then the mapping is homothetic, i.e. $\bar g={ m const}\cdot g$.

研究の動機と目的

• 微分可能性クラス $C^r$（$r \geq 1$）の保存を確立し、以前の結果（$r \geq 2$ を必要としていた）を拡張すること。
• 特に、終域多様体が唯一 $C^1$ である場合の測地線写像による正則性の伝達を調査すること。
• アインシュタイン空間からの測地線写像が、終域多様体におけるアインシュタイン性を保存する条件を特定すること。
• 非定数曲率をもつ4次元アインシュタイン空間からの測地線写像を特徴付けること。
• 微分可能性クラスを $C^1$ を含むより低いクラスにまで拡張した、アインシュタイン多様体の測地線写像に関する既知の結果の一般化。

提案手法

• 測地線写像下での計量成分および接続係数の振る舞いを分析するための半測地座標系の使用。
• 微分方程式の可解性理論を応用し、$C^1$ から $C^r$（$r \geq 1$）への正則性の拡張を実現すること。
• 測地線が保存されることを条件として、測地線写像を記述する偏微分方程式系を導出すること。
• 計量成分の2階偏導関数の存在と連続性を活用し、写像の高次の正則性を帰結すること。
• アインシュタイン空間計量の解析性を活用して、結果のグローバル有効性を保証すること。
• 測地線写像方程式の積分および微分を実行し、終域多様体における計量成分の高階導関数の存在を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分可能性クラス $C^r$ の(擬-)リーマン多様体から $C^1$ 終域多様体への測地線写像が、終域計量の $C^r$ 正則性を保存するか？
• RQ2 アインシュタイン空間からの非自明な測地線写像が、終域多様体におけるアインシュタイン性を保存する条件は何か？
• RQ3 非定数曲率をもつ4次元アインシュタイン空間からの測地線写像に、どのようなグローバル幾何的制約が課されるか？
• RQ4 測地線写像に関する正則性転送定理を、最小の微分可能性クラス $C^1$ まで拡張できるか？
• RQ5 非定数曲率をもつ4次元アインシュタイン空間からの測地線写像は、必ずアフィン的またはホモotheticであるか？

主な発見

• 測地線写像は微分可能性クラスを保存する：$V_n \in C^r$（$r \geq 1$）が $\bar{V}_n \in C^1$ に測地線写像をもつならば、$\bar{V}_n \in C^r$ である。
• アインシュタイン空間 $V_n$ が非自明な測地線写像を $C^1$ (擬-)リーマン多様体 $\bar{V}_n$ に持つならば、$\bar{V}_n$ もまたアインシュタイン空間である。
• 4次元において、非定数曲率をもつアインシュタイン空間がグローバルに $C^1$ 多様体に測地線写像をもつならば、その写像はアフィン的である。
• さらに、そのような4次元の場合にスカラー曲率が消えないならば、写像はホモotheticである、すなわち $\bar{g} = \text{const} \cdot g$ である。
• 結果は、アインシュタイン空間計量の解析性および写像ポテンシャル $\Psi$ が実解析的であることから、グローバルに成立する。
• 証明は、測地線写像方程式から導かれる、終域多様体における計量成分の2階導関数の存在と連続性に依存している。