[論文レビュー] Geodesic rays and stability in the cscK problem

Chi Li|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 73被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、有限エネルギーの測地線的放射線が有限のMabuchi勾配を持つ場合、Berman-Boucksom-Jonssonの意味での最大性を示し、一様Yau-Tian-Donaldson予想を非アーチメデス的エントロピーの代数的近似に関するBoucksom-Jonssonの予想に還元する。さらに、一様K安定性と$χ^{K_X}$-安定性がcscK計量の存在を示す十分条件であることを示し、トーリック多様体への応用およびMabuchi勾配に関する新しい恒等式を提示する。

ABSTRACT

We prove that any finite energy geodesic ray with a finite Mabuchi slope is maximal in the sense of Berman-Boucksom-Jonsson, and reduce the proof of the uniform Yau-Tian-Donaldson conjecture for constant scalar curvature Kähler metrics to Boucksom-Jonsson's regularization conjecture about the convergence of non-Archimedean entropy functional. As further applications, we show that a uniform K-stability condition for model filtrations and the $\mathcal{J}^{K_X}$-stability are both sufficient conditions for the existence of cscK metrics. The first condition is also conjectured to be necessary. Our arguments also produce a different proof of the toric uniform version of YTD conjecture for all polarized toric manifolds. Another result proved here is that the Mabuchi slope of a geodesic ray associated to a test configuration is equal to the non-Archimedean Mabuchi invariant.

研究の動機と目的

• 不安定化測地線的放射線と最大性との間の関係を、最大性を介して代数的近似可能性に結びつけること。
• 一様Yau-Tian-Donaldson予想を、非アーチメデス的エントロピーの代数的近似に関する予想に還元すること。
• 一様$χ^{K_X}$-安定性およびモデルフィルトレーションの均等安定性がcscK計量の存在を示す十分条件であることを証明すること。
• テスト配置に関連する測地線的放射線のMabuchi勾配恒等式を検証すること。
• すべての偏極トーリック多様体に対するトーリック一様YTD予想の新たな証明を提供すること。

提案手法

• C^{1,\bar{1}}-測地線に沿ったMabuchiエネルギーの凸性を用いて、Mabuchi勾配の極限が存在することを保証する。
• Berman-Boucksom-Jonssonによる最大測地線的放射線と有限エネルギー非アーチメデス的計量との間の対応を応用する。
• 非アーチメデス的計量$\phi_m \to \Phi_{\rm NA}$の強い収束を用いて、ねじれMonge-Ampèreエネルギー勾配の極限を分析する。
• 収束の証明に[8]、[3]、[5]の推定結果を用いることで、最大測地線的放射線におけるねじれMonge-Ampèreエネルギー勾配の収束を示す。
• Chen-TianによるMabuchiエネルギーのエントロピー部とエネルギー部への分解を用いて、エントロピー勾配問題を分離する。
• 既知の$χ^{K_X}$-エネルギーの正規性および$J$-方程式の可解性に関する結果を用いて、存在定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限エネルギー測地線的放射線が有限Mabuchi勾配を持つ場合、Berman-Boucksom-Jonssonの意味で最大であるか？
• RQ2 最大測地線的放射線のMabuchi勾配は、テスト配置を介して代数的に近似可能か？
• RQ3 一様$χ^{K_X}$-安定性はcscK計量の存在を示唆するか？
• RQ4 テスト配置に関連する測地線的放射線のMabuchi勾配は、非アーチメデス的Mabuchi不変量に等しいか？
• RQ5 非アーチメデス的計量の強い収束のもとで、最大測地線的放射線におけるねじれMonge-Ampèreエネルギー勾配の収束は成立するか？

主な発見

• 有限エネルギー測地線的放射線が有限Mabuchi勾配を持つ場合、最大であり、$\mathbf{E}^{\prime\infty}(\Phi) = \mathbf{E}^{\rm NA}(\Phi_{\rm NA})$を満たす。
• テスト配置に関連する測地線的放射線のMabuchi勾配は、非アーチメデス的Mabuchi不変量に等しい。
• 最大測地線的放射線に対して$({\bf E}^{{\rm dd^{c}}\psi_{Q}})^{\prime\infty}(\Phi) = \lim_{m\to\infty}({\bf E}^{{\rm dd^{c}}\psi_{Q}})^{\prime\infty}(\Phi_m)$が成り立つ。
• 一様$χ^{K_X}$-安定性はcscK計量の存在を示す。
• モデルフィルトレーションの均等安定性も、cscK計量の存在の十分条件である。
• 任意の最大測地線的放射線に対して、恒等式$({\bf E}^{{\rm dd^{c}}\psi_{Q}})^{\prime\infty}(\Phi) = ({\bf E}^{Q_{\mathbb{C}}})^{\rm NA}(\Phi_{\rm NA})$が成り立つ。