[論文レビュー] On the constant scalar curvature Kähler metrics, apriori estimates

Xiuxiong Chen, Jingrui Cheng|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなケーラー多様体上の定スカラー曲率ケーラー（cscK）計量について、ケーラー位相の $ C^0 $-有界性に基づいて、高階微分が一様に有界であることを示すことによって、鋭い事前推定を確立する。主な貢献は、複素ヘッセ行列とスカラー曲率を制御するための連立非線形偏微分方程式系を用いた新規な技法であり、これは連続経路法をcscK問題へと拡張可能にし、ヤウ＝ティアン＝ドナルドソン予想の証明に基礎を築くものである。

ABSTRACT

In this paper, we derive apriori estimates for constant scalar curvature Kähler metrics on a compact Kähler manifold. We show that higher order derivatives can be estimated in terms of a $C^0$ bound for the Kähler potential. We also discuss some local versions of these estimates which can be of independent interest.

研究の動機と目的

• コンパクトなケーラー多様体に境界のない定スカラー曲率ケーラー（cscK）計量の事前推定を導出すること。
• cscK幾何におけるリッチ曲率の下界がないことによる障害を克服し、チーリング＝コールディング理論の適用を妨げる要因を除去すること。
• コンjecture 1.1に従い、ケーラー位相の高階微分が $ C^0 $-有界性によって制御されることを確立すること。
• 極小ケーラー計量やより広範なcscK存在問題に適用可能な局所推定とフレームワークを提供すること。
• Kエネルギー汎関数の正則性を用いたcscK計量の存在に関するヤウ＝ティアン＝ドナルドソン予想の証明に向けた解析的基盤を構築すること。

提案手法

• 4階非線形完全非線形偏微分方程式を、複素ヘッセ行列とスカラー曲率を含む連立方程式系に還元することで、cscK計量の事前推定を導出する。
• カルビとドナルドソンにインspiredされた連続経路法を用い、cscK方程式を2階楕円型偏微分方程式に結びつける。
• 修正された最大原理と $ e^{ heta G} $ を含む補助汎関数を用いて、位相の勾配とヘッセ行列の成長を制御する。
• 吹き出し法と、補題6.4による一般化されたジョン＝ニレントン型不等式を用いて、勾配と曲率の $ L^ ho $-有界性を導出する。
• 局所的 $ L^ ho $-推定 $ | abla heta|^2 $ を $ B_{1/2} $ で、$ \frac{1}{1-|z|^2} $ との下位解比較を用いて実装する。
• 次を証明する：$ | abla heta| $ が有界ならば、次を用いたテスト関数 $ v = e^{rac{1}{8}G}(| abla heta|^2 + K) $ を用いて、$ n=2 $次元で $ e^G $ は局所的に有界である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cscK設定において、ケーラー位相の高階微分が、位相の $ C^0 $-有界性のみによって制御可能か？
• RQ2 リッチ曲率の下界がない状況で、複素ヘッセ行列とスカラー曲率をどのように制御できるか？
• RQ3 鋭い事前推定を用いて、cscK計量に対する連続経路法が実現可能になるか？
• RQ4 cscK方程式に対して、グローバル幾何に依存しない局所的PDE推定をどのように得られるか？
• RQ5 cscK文脈において、チーリング＝コールディング理論をどの程度適合または置き換えることができるか？

主な発見

• ケーラー位相 $ \theta $ のすべての高階微分が、$ \big\rfloor\theta\big\rfloor_{L^\rho} $ によって有界であり、これは $ \big\rfloor\theta\big\rfloor_{C^0} $ によって制御されるため、Conjecture 1.1 が裏付けられる。
• 次元 $ n=2 $ において、$ | abla heta| $ が局所的に有界ならば、$ e^G $ は $ B_{1/2} $ で局所的に有界であり、その有界性は $ || abla heta||_{C^0} $ と $ \bar{R} $ のみに依存する。
• 関数 $ f(r) = ||\bar{u}||_{L^\infty(B_r)} $ に対して、$ f(1/2) \leq C_\alpha M $ が成り立ち、$ f $ が部分反復不等式を満たすため、モーザー反復スキームの適用が可能である。
• 関数 $ v = e^{rac{1}{8}G}(| abla heta|^2 + K) $ は下位解不等式を満たし、最大原理を用いて $ e^G $ を $ \eta = (1-|z|^2)^{-1} $ との比較によって制御できる。
• ラプラシアン $ \Delta_\theta v $ は、$ \Delta\theta $、$ e^{\delta G} $、および低次の項の組み合わせによって下から有界であるため、勾配と曲率の制御が可能である。
• この結果により、$ B_{1/2} $ で $ e^G \leq C_{6.4} $ が成り立ち、勾配の有界性のもとで $ e^G $ の局所的 $ L^\infty $-有界性が証明され、グローバル推定への重要な一歩が達成される。