[論文レビュー] Geography of symplectic 4- and 6-manifolds

Rafael Torres, Jonathan Yazinski|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、既知の最小対称的4次元および6次元多様体からの構成ブロックとシンプレクティック和を用いて、所望の基本群と特性数を備えた最小対称的4次元および6次元多様体の存在を確立する。シンプレクティック和と構成ブロックを用い、任意の基本群とすべての許容可能なチャーン数の三つ組を6次元で実現する。

ABSTRACT

The geography of minimal symplectic 4-manifolds with arbitrary fundamental group and symplectic 6-manifolds with abelian fundamental group of small rank, and with arbitrary fundamental group are addressed.

研究の動機と目的

• 任意の基本群を備えた非単連結な4次元多様体へのシンプレクティック地図問題の拡張。
• アーベル群または小さなランクの任意の基本群を備えたシンプレクティック6次元多様体の地図問題の解明。
• シンプレクティック和技術を用いて、所望の特性数と基本群を備えた最小対称的4次元多様体の構成。
• ブロー・アップとシンプレクティック和の構成を用いて、シンプレクティック6次元多様体におけるすべての許容可能なチャーン数三つ組の実現。
• 有限基本群を備えたシンプレクティック4次元多様体における異種微分構造の存在を示すこと。

提案手法

• 基本群 $G$ を備えた最小対称的4次元多様体 $M(G)$ を、オイラー標数と符号数を制御した構成ブロックとシンプレクティック和を用いて構成する。
• 基本群 $G$ への準同型 $ ho_1(BK) \to G$ を備え、$c_2(BK) = 4(g+r)$、$ au(BK) = 0$ を満たす最小対称的4次元多様体 $BK$ を、$X_1(G)$ の構成の基盤として用いる。
• トーラスまたは genus 2 の曲面に沿ったシンプレクティック和を用いて、4次元多様体と $S^2$、$T^2$、または $Σ_2$ の積から6次元多様体 $W_i(G)$ を構成する。
• シンプレクティック曲面から離れた点でのブロー・アップを用いて、6次元多様体における $c_1c_2$ のすべての可能な値を実現する。
• 既知のホメオモルフィズムおよび不変量に関する結果（例えば、Boyer, Taubes, Kotschick）を活用し、多様体の非可縮性および微分構造の違いを保証する。
• シンプレクティック和における特性類の加法性に依拠し、Lemma 22 および Lemma 24 を用いてチャーン数の計算を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の基本群を備えた最小対称的4次元多様体へのシンプレクティック地図問題の拡張は可能か？
• RQ2 アーベル群または任意の基本群を備えたシンプレクティック6次元多様体におけるチャーン数の制約は何か？
• RQ3 与えられた基本群を備えたシンプレクティック6次元多様体において、すべての許容可能なチャーン数三つ組 $(c_1^3, c_1c_2, c_3)$ は実現可能か？
• RQ4 有限基本群を備えたシンプレクティック4次元多様体は異種微分構造を備えるか？
• RQ5 シンプレクティック和とブロー・アップは、高次元シンプレクティック多様体における特性数の全範囲を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の有限生成群 $G$ に対して、$g$ 個の生成元と $r$ 個の関係式を備える場合、$ ho_1(M(G)) \to G$、$c_1^2 = 2e+3\tau+4(g+r)$、$χ_h = \frac{1}{4}(e+\tau)+(g+r)$ を満たす最小対称的4次元多様体 $M(G)$ が存在する。ここで $2e+3\tau \geq 0$、$e+\tau \equiv 0 \pmod{4}$、$e+\tau \geq 8$ を満たす。
• 群 $G$ が有限の場合、Boyer および Kotschick のホメオモルフィズム結果を用いて、$M(G)$ は異種微分構造を備える。
• 任意の $n \in \mathbb{N}$ および $s \geq 1$ に対して、$(c_1^2, \chi_h) = (8n-8+8(g+r), 2s+n-1+(g+r))$ を満たすスピンなシンプレクティック4次元多様体 $X(G)$ が存在し、$X(G)$ にホメオモルフィックだが微分同相でない無限族 $\{X_m(G)\}$ が存在する。
• 基本群 $G$ を備え、$S^2$、$T^2$、または $Σ_2$ との積のシンプレクティック和により構成された、$W_0(G), W_1(G), W_2(G)$ というシンプレクティック6次元多様体が、所望のチャーン数を備えて構成された。
• すべての三つ組 $(a,b,c) \in \mathbb{Z}^3$ に対して、$a \equiv c \equiv 0 \pmod{2}$、$b \equiv 0 \pmod{24}$ を満たすものについて、任意の有限生成基本群 $G$ を備えたシンプレクティック6次元多様体としてチャーン数として実現可能である。
• シンプレクティック genus 2 の曲面から離れた点でのブロー・アップにより、$c_1c_2$ のすべての可能な値が実現可能であり、この構成により $c_1^3$ および $c_3$ がすべての偶数整数を張る。