[論文レビュー] Geometric and topological structures related to M-branes II: Twisted String and String^c structures

Hisham Sati|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、M理論におけるM2-およびM5-ブレーンの世界面に、ねじれ付きストリング構造およびストリング^c 構造を導入し、フラックス量子化と異常キャンセレーションが自然にこれらの高次幾何的構造を生じることを示している。両方の世界面および法線 bundle がねじれ付きストリングおよびストリング^c 構造を支持することを確立し、ストリングコボルディズムカテゴリを介して分割関数および Chern-Simons 理論への応用がなされている。これは、C場の結合と異常キャンセレーションに関する先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

The actions, anomalies, and quantization conditions allow the M2-brane and the M5-brane to support, in a natural way, structures beyond Spin on their worldvolumes. The main examples are twisted String structures. This also extends to twisted String^c structures, which we introduce and relate to twisted String structures. The relation of the C-field to Chern-Simons theory suggests the use of the String cobordism category to describe the M2-brane.

研究の動機と目的

• M理論および異常キャンセレーションの文脈において、スピン構造を超えたMブレーン関連の幾何的・位相的構造を拡張すること。
• M2-およびM5-ブレーンの世界面およびその法線 bundle にねじれ付きストリングおよびストリング^c 構造が存在することを確立すること。
• これらの構造をM理論におけるフラックス量子化条件およびC場に関連づけ、Chern-Simons 理論および指数理論を用いて解明すること。
• これらの構造の微分的精錬を提供し、M2-ブレーンの分割関数にストリングコボルディズムカテゴリを用いることを可能とすること。
• 接続 bundle および法線 bundle における構造の「三つのうち二つ」の原則を、ねじれ付きストリングおよびストリング^c の設定に一般化すること。

提案手法

• 空間時間および法線 bundle がねじれ付きストリング構造を備えるならば、世界面に対しても同様に成り立つことを、バンドルの「三つのうち二つ」の原則を用いて導出する。
• C場の場強度 $G_4$ および特徴類を含むフラックス量子化条件を適用し、世界面にねじれ付きストリング構造を導出する。
• 特徴類 $Q_1^\alpha(E;\ell)$ を用いてねじれ付きストリング^c 構造を導入し、ここで $Q_1^\alpha(E;\ell) = Q_1(E;\ell) - \alpha$ であり、$\alpha$ は4次整数コキュールである。
• 法線 bundle における指数理論を適用し、$G_4 + \frac{1}{2}\lambda + \frac{1}{4}c_1^2(\mathcal{L}) \in H^4(Y^{11};\mathbb{Z})$ という条件を導出し、これがねじれ付きストリング^c 構造を定義する。
• ストリングコボルディズムカテゴリを用いてM2-ブレーンの分割関数を定義し、ねじれ付きストリング構造の微分的精錬がその根拠となる。
• 特に $\mathcal{W}^6 = S^3 \times S^3$ の場合に、球 bundle および特徴類の引き戻しを用いて幾何的実現を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C場の結合およびフラックス量子化の結果、M2-およびM5-ブレーンの世界面が自然にねじれ付きストリング構造を支持するか？
• RQ2 空間時間がスピン^c である場合、Mブレーンの世界面にねじれ付きストリング^c 構造はどのようにして生じるか？
• RQ3 ねじれ付きストリング^c 構造の正確な数学的定式化は何か？ また、スピン^c 構造の変更に伴ってどのように変化するか？
• RQ4 M2-ブレーンの分割関数はストリングコボルディズムカテゴリを用いて定式化可能か？ また、微分的精錬はその際に果たす役割は何か？
• RQ5 Mブレーンにねじれ付きストリング^c 構造が存在するための条件 $\frac{1}{2}\lambda^c(X^{10}) + x = 0$ が $H^4(X^8;\mathbb{Z})$ に成り立つとき、その幾何学的・位相的意義は何か？

主な発見

• M2-ブレーンの世界面およびその法線 bundle はそれぞれねじれ付きストリング構造を備え、世界面は微分的ストリングコボルディズム不変量を支持する。
• M5-ブレーンの世界面およびその法線 bundle はそれぞれねじれ付きストリング構造を備え、ディスク bundle から得られる拡張接続 bundle も同様にその構造を支持する。
• ねじれ付きストリング^c 構造が導入され、修正された加法性法則 $Q_1^\alpha(E\oplus E';\ell+\ell') = Q_1^\alpha(E;\ell) + Q_1^\alpha(E';\ell') - \ell\ell'$ を満たすことが示された。
• スピン^c 構造の変更に伴い、ねじれ付きストリング^c クラスは $Q_1^\alpha(E;\ell+2m) = Q_1^\alpha(E;\ell) - 2\ell m - 2m^2$ と変化し、線分束クラスに非自明な依存性を持つことが示された。
• 条件 $G_4 + \frac{1}{2}\lambda + \frac{1}{4}c_1^2(\mathcal{L}) \in H^4(Y^{11};\mathbb{Z})$ は、M2-ブレーンの法線 bundle にねじれ付きストリング^c 構造を定義するフラックス量子化条件として導出された。
• M5-ブレーンに関しては、条件 $\frac{1}{2}\lambda^c(X^{10}) + x = 0$ が $H^4(X^8;\mathbb{Z})$ に成り立つことが、ディラック作用素の指数が mod 2 でゼロになるための必要条件であり、ねじれ付きストリング^c 構造の存在を示唆する。