[論文レビュー] String Connections and Chern-Simons Theory

Konrad Waldorf|arXiv (Cornell University)|May 30, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、スピン bundle における Chern-Simons bundle 2-gerbe の自明化を用いて、有限次元的で滑らかなストリング構造の定式化を導入し、ストリング接続の新たな取り扱いを可能にする。すべてのストリング構造がストリング接続を備え、その集合がアフィン空間をなすことを証明し、ストリング接続、基底多様体上の3形式、および3次元微分コホロロジーの間の直接的な関係を確立する。

ABSTRACT

We present a finite-dimensional and smooth formulation of string structures on spin bundles. It uses trivializations of the Chern-Simons 2-gerbe associated to this bundle. Our formulation is particularly suitable to deal with string connections: it enables us to prove that every string structure admits a string connection and that the possible choices form an affine space. Further we discover a new relation between string connections, 3-forms on the base manifold, and degree three differential cohomology. We also discuss in detail the relation between our formulation of string connections and the original version of Stolz and Teichner.

研究の動機と目的

• スピン bundle に関連する Chern-Simons bundle 2-gerbe の自明化を用いて、有限次元的で滑らかなストリング構造の定式化を提供すること。
• ストリング接続を bundle 2-gerbe 上の接続として定義し、幾何的かつ計算可能な枠組みを可能にすること。
• 任意の与えられたスピン bundle 上のストリング構造および接続に対して、ストリング接続の存在と分類を確立すること。
• ストリング接続、基底多様体上の3形式、および3次元微分コホロロジーの間の新しい関係を明らかにすること。
• 3次元コホロロジーがストリング構造に作用する古典的構造を、接続を伴う微分コホロロジーの設定へ一般化すること。

提案手法

• スピン bundle に関連する Chern-Simons bundle 2-gerbe の自明化としてストリング構造を形式化すること。
• 1次および2次微分形式を用いて、これらの自明化された bundle 2-gerbe 上の接続としてストリング接続を定義すること。
• bundle 2-gerbe 上の接続の理論を活用し、自明化に適合する接続の構成と分類を行うこと。
• 2群族の作用、引き戻し、作用のwell-definednessに関する技術的補題を適用し、存在性および推移性を証明すること。
• ストリング接続と、基底多様体上の閉じた3形式の間の対応関係を確立し、その引き戻しが積分周期を持つ閉じた3形式の差分として Chern-Simons 3形式に一致することを示すこと。
• 障害類の幾何的実現を Chern-Simons 2-gerbe を用いて行い、有限次元性と滑らかさを維持すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元的 Lie 2群を用いずに、有限次元的で滑らかなカテゴリーにおいてストリング構造を定式化できるか？
• RQ2 bundle 2-gerbe 及びその接続を用いて、ストリング接続を内因的（intrinsically）に定義できるか？
• RQ3 ストリング接続と基底多様体上の3形式の間の関係は何か？
• RQ4 固定されたストリング構造および接続に対するストリング接続の集合はどのように分類されるか？
• RQ5 3次元微分コホロロジーは、接続を伴う幾何的ストリング構造にどのように作用するか？

主な発見

• 幾何的ストリング構造は2カテゴリであり、その同型類の集合は基底多様体の3次元微分コホロロジーによってパrameter化される。
• すべてのストリング構造はストリング接続を備え、そのすべての接続の集合はアフィン空間をなす。
• 各ストリング接続は、基底多様体上の3形式を定め、そのスピン bundle への引き戻しが、積分周期を持つ閉じた3形式の差分として Chern-Simons 3形式に一致する。
• 3次元微分コホロロジーが幾何的ストリング構造に作用する方法は、古典的構造の一般化であり、微分設定へ拡張される。
• この定式化により、無限次元的 Lie 2群モデルを避けて、有限次元的で滑らかなストリング接続の実現が可能になる。
• この構成により、3形式がストリング幾何学においてより深い幾何的役割を果たすことが明らかになり、Chern-Simons 2-gerbe を介してストリング接続の曲率と結びつく。