[論文レビュー] Geometric complexity of embeddings in ℝ d .

Michael Freedman, Vyacheslav Krushkal|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、単体的複体の ℝ^d への分離線形（PL）埋め込みの幾何的複雑性、特に厚さ、歪み、およびリファインメント複雑性に焦点を当てて調査する。n > 2 の場合、ℝ^{2n} に埋め込める n-複体に対して、リファインメント複雑性が O(e^{N^{4+ε}}) で有界であることを証明する。一方で、指数関数的下界を持つ族を構成することで、安定範囲における多項式的境界とは対照的に、準安定領域における根本的な複雑性のギャップを明らかにする。

ABSTRACT

Given a simplicial complex K, we consider several notions of geometric complexity of embeddings of K in a Euclidean space R d : thickness, distortion, and refinement complexity (the minimal number of simplices needed for a PL embed- ding). We show that any n-complex with N simplices which topologically embeds in R 2n , n> 2, can be PL embedded in R 2n with refinement complexity O(e N 4+� ). Families of simplicial n-complexes K are constructed such that any embedding of K into R 2n has an exponential lower bound on thickness and refinement complexity as a function of the number of simplices of K. This contrasts embeddings in the stable range, K ⊂ R 2n+k , k> 0, where all known bounds on geometric complexity functions are polynomial. In addition, we give a geometric argument for a bound on distortion of expander graphs in Euclidean spaces. Several related open problems are discussed, including questions about the growth rate of complexity functions of embeddings, and about the crossing number and the ropelength of classical links.

研究の動機と目的

• ℝ^d における単体的複体の PL 埋め込みの幾何的複雑性を分析すること、特に準安定範囲（d = 2n、n > 2）において。
• このような埋め込みにおけるリファインメント複雑性、厚さ、歪みの上界および下界を確立すること。
• 安定範囲（d = 2n + k、k > 0）における既知の多項式的境界と対照的に、準安定範囲における複雑性の成長を対比すること。
• エクスパンダーグラフがユークリッド空間内に埋め込まれる際の歪みの境界を幾何的議論によって導出すること。
• 複雑性の成長率、交差数、および古典的リンクのロープレングスに関する未解決問題を特定すること。

提案手法

• n 次元単体的複体 K が N 個の単体を持つ場合、n > 2 において ℝ^{2n} への PL 埋め込みを分析する。
• 組合せ的および位相的技法を用いて、ℝ^{2n} に位相的に埋め込める複体に対して、リファインメント複雑性の上界として O(e^{N^{4+ε}}) を導出する。
• 明示的な n-複体の族を構築し、ℝ^{2n} への任意の埋め込みにおいて、厚さおよびリファインメント複雑性が N に関して指数関数的に増加することを示す。
• 幾何的推論を適用して、ユークリッド空間内におけるエクスパンダーグラフの歪みを評価する。
• 準安定範囲（d = 2n）における複雑性の振る舞いと、既知の多項式的境界が成り立つ安定範囲（d = 2n + k）を比較する。
• 複雑性の成長、交差数、および古典的リンクのロープレングスに関する未解決問題を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的に ℝ^{2n} に埋め込める任意の単体的 n-複体 K に対して、その最大のリファインメント複雑性は何か？
• RQ2 n-複体が準安定範囲において厚さおよびリファインメント複雑性がどのように成長するか、安定範囲と比較してどうなるか？
• RQ3 エクスパンダーグラフがユークリッド空間に埋め込まれる際の歪みを、幾何的議論によって境界づけることができるか？
• RQ4 ℝ^d への埋め込みにおける幾何的複雑性関数の漸近的成長率は何か？
• RQ5 古典的リンク埋め込みにおいて、リファインメント複雑性、交差数、およびロープレングスの関係は何か？

主な発見

• 任意の n-複体 K が N 個の単体を持ち、位相的に ℝ^{2n} に埋め込める場合（n > 2）、リファインメント複雑性が O(e^{N^{4+ε}}) で有界となる PL 埋め込みが存在する。
• 任意の ℝ^{2n} への埋め込みにおいて、厚さおよびリファインメント複雑性が N に関して指数関数的に増加する n-複体の族が存在する。
• 準安定範囲における指数的下界は、既知の多項式的境界が成り立つ安定範囲（d = 2n + k、k > 0）と顕著に対照的である。
• エクスパンダーグラフがユークリッド空間に埋め込まれる際の歪みを評価するための幾何的議論が提供されている。
• 本稿では、複雑性関数の成長率、交差数、および古典的リンクのロープレングスに関する未解決問題を特定している。