[論文レビュー] Geometric Complexity Theory VII: Nonstandard quantum group for the plethysm problem

Ketan Mulmuley|ArXiv.org|Sep 5, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、表現論におけるプレシスム問題の正の#P式を導出するための可能性を秘めた非標準的量子群 $G_q^H$ を導入する。$G_q^H$ と対称群代数の非標準的量子化の間に双対性を構築し、基底の存在を仮定することで、リトルウッド＝リチャードソン則に類似した構成的解法の基盤が築かれる。

ABSTRACT

This article describes a {\em nonstandard} quantum group that may be used to derive a positive formula for the plethysm problem, just as the standard (Drinfeld-Jimbo) quantum group can be used to derive the positive Littlewood-Richardson rule for arbitrary complex semisimple Lie groups. The sequel \cite{GCT8} gives conjecturally correct algorithms to construct canonical bases of the coordinate rings of these nonstandard quantum groups and canonical bases of the dually paired nonstandard deformations of the symmetric group algebra. A positive $#P$-formula for the plethysm constant follows from the conjectural properties of these canonical bases and the duality and reciprocity conjectures herein.

研究の動機と目的

• プレシスム定数の正の公式を、リトルウッド＝リチャードソン則に類似した形で得るための量子群フレームワークの構築。
• 再帰的群 $G=GL(X)$ の再帰的部分群 $H$ に対する $H \to G$ の写像を量子化する非標準的量子群 $G_q^H$ の構築。
• $G_q^H$ と対称群代数 $\mathbb{C}[S_r]$ の非標準的量子化 $\mathcal{B}_r^H(q)$ の間の双対性の確立。
• $G_q^H$ 及びその双対の正規基底の存在を仮定することで、プレシスム定数の正の公式の構成的導出。
• 表現論的双対性と $q$-変形を用いた、プレシスム定数を計算する構成的アルゴリズムへの道筋の提示。

提案手法

• 再帰的群 $G=GL(X)$ の再帰的部分群 $H$ に対して、$H \to G$ の写像を量子化する非標準的量子群 $G_q^H$ を提唱。
• $G_q^H$ の有限次元多項式表現が完全可約であり、量子ピーター＝ウェイラー定理を満たすことを示す。
• $G_q^H$ と双対となる非標準的量子化 $\mathcal{B}_r^H(q)$ を、対称群代数 $\mathbb{C}[S_r]$ に対して導入。
• $G_q^H$ と $\mathcal{B}_r^H(q)$ が $X_q^{\otimes r}$ 上に作用するとき、それらが互いに中心化子をなすと仮定し、シュール＝ウェイラー双対性を構築。
• $G$ のウェイル加群 $V_\lambda$ の $q$-アナログ $V_{q,\lambda}^H$ を定義し、$\lim_{q\to 1} V_{q,\lambda}^H \cong V_\lambda$ が $H$-加群として成り立つことを示す。
• $G_q^H$-加群 $W_{q,\alpha}$ が $V_{q,\lambda}^H$ に現れる回数と、$\mathcal{B}_r^H(q)$-加群の特殊化においてスペクト加群 $S_\lambda$ が現れる回数の間の双対性法則（双対性の予想）を提示。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的群に対して、$H \to G$ の写像を量子化する非標準的量子群 $G_q^H$ を構築可能か？
• RQ2 $G_q^H$ は、標準的ドリンフェルト＝ジモの量子群に類似した正規基底理論を有するか？
• RQ3 $G_q^H$ と対称群代数の非標準的量子化 $\mathcal{B}_r^H(q)$ の間に双対性が存在するか？
• RQ4 プレシスム定数 $a_{\lambda,\mu}^\pi$ は、$G_q^H$ の正規基底を用いて正の#P式として表現可能か？
• RQ5 双対性の予想は、ウェイル加群の $q$-アナログの分解を対称群の表現論に結びつけるか？

主な発見

• 再帰的群 $H \to G$ の写像を量子化する非標準的量子群 $G_q^H$ が存在し、その有限次元多項式表現は完全可約である。
• $G_q^H$ の行列座標環は量子ピーター＝ウェイラー定理を満たし、既約表現への分解を示唆する。
• $G_q^H$ は一般に特異的である。その行列式がゼロとなる可能性があり、余元が存在しないこともある。
• 対称群代数の非標準的量子化 $\mathcal{B}_r^H(q)$ が構築され、シュール＝ウェイラー双対性により $G_q^H$ と双対と予想される。
• $X_q^{\otimes r}$ を $G_q^H$ と $\mathcal{B}_r^H(q)$ の両方の代数の作用としての両面加群と見たとき、その分解は $\bigoplus_\alpha W_{q,\alpha} \otimes T_{q,\alpha}$ と予想される。ここで $W_{q,\alpha}$ は $G_q^H$-加群の既約表現、$T_{q,\alpha}$ は $\mathcal{B}_r^H(q)$-加群の既約表現である。
• プレシスム定数 $a_{\lambda,\mu}^\pi$ は、双対性および双対性の予想のもと、$G_q^H$ と $\mathcal{B}_r^H(q)$ の正規基底を用いて正の#P式として表現可能と予想される。