[論文レビュー] Geometric Computing with Chain Complexes: Design and Features of a Julia Package

Francesco Furiani, Giulio Martella+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、セル分解のスパース行列表現を用いて、任意のメッシュ上で効率的なトポロジカルおよび幾何的計算を可能にする、JuliaベースのソフトウェアパッケージLARLIB.jlを提示する。このアプローチはホモロジカル代数を活用し、チェーン複体を用いて固体や物理シミュレーションをモデル化し、非凸、非多様体、穴あきセルを含む形状をスパース行列の線形代数的演算で扱い、CPU+GPUアーキテクチャでも高いパフォーマンスを達成する。

ABSTRACT

Geometric computing with chain complexes allows for the computation of the whole chain of linear spaces and (co)boundary operators generated by a space decomposition into a cell complex. The space decomposition is stored and handled with LAR (Linear Algebraic Representation), i.e. with sparse integer arrays, and allows for using cells of a very general type, even non convex and with internal holes. In this paper we discuss the features and the merits of this approach, and describe the goals and the implementation of a software package aiming at providing for simple and efficient computational support of geometric computing with any kind of meshes, using linear algebra tools with sparse matrices. The library is being written in Julia, the novel efficient and parallel language for scientific computing. This software, that is being ported on hybrid architectures (CPU+GPU) of last generation, is yet under development.

研究の動機と目的

• 非凸および非多様体形状を含む、任意のセルタイプをサポートする汎用的な幾何計算のための計算フレームワークを開発すること。
• セル分解におけるスパース行列代数を用いて、境界やコバウンダリの計算を含む効率的なトポロジカル演算を可能にすること。
• 現代のハードウェアと統合され、物理シミュレーションをサポートする、高パフォーマンスでポータブルなソフトウェアライブラリを提供すること。
• チェーン複体と線形代数に基づく単一のトポロジカルフレームワークで、幾何モデリング、ソリッドモデリング、物理シミュレーションを統合すること。
• 3D医療画像、建築、計算物理学の応用をサポートするモジュラでオープンソースのJuliaパッケージを構築すること。

提案手法

• 頂点-セルのインシデント関係を符号行列（特徴行列）として、スパースなバイナリ行列で表現する。
• 特徴行列から導出されるスパースな整数行列として、境界やコバウンダリなどのトポロジカル演算子をモデル化する。
• 行列積を用いてチェーン複体を計算し、恒等式 ∂∂ = 0 を用いて正当性を検証する。
• スパース行列-ベクトル積（SpMV）を用いて、チェーン上のグローバル演算（例えば、セルの部分集合への境界やコバウンダリ演算子の適用）を実行する。
• 非連結な部分複体のマージアルゴリズムを実装し、重複する行の検出と、ポセットに基づく包含ラティスの再構築を含む。
• JuliaのパフォーマンスとGPUサポートを活用し、スパース線形代数演算を高速化し、スケーラブルでデータフロー形式の計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸、非多様体、穴あきセルを含む任意の幾何的形状を、線形代数的構造を用いて統一的なトポロジカルフレームワークで表現するにはどうすればよいか？
• RQ2 スパース行列を用いて、空間分解の完全なチェーン複体を効率的に計算・表現する最良の方法は何か？
• RQ3 境界やコバウンダリなどのトポロジカル演算を、スパース行列算術を用いて効率的に表現・計算するにはどうすればよいか？
• RQ4 非連結またはネストされた部分複体を、トポロジカル整合性を保ちつつ、1つのグローバルなチェーン複体にマージするにはどうすればよいか？
• RQ5 このアプローチにより、チェーン複体上のトポロジカルおよびメトリック演算に還元することで、物理法則の高速でスケーラブルなシミュレーションが可能になるか？

主な発見

• LARLIB.jlパッケージは、非凸および非多様体セルを含む2次元および3次元のセル複体用に、完全なチェーン複体計算パイプラインを実装した。
• 特徴行列およびインシデント関係にスパース行列を用いることで、非ゼロ要素の数に比例する線形時間で境界やコバウンダリ演算子の計算が可能になった。
• 重複するサイクルのポセットを用いた検出とマージにより、複雑な配置の正しいトポロジカル表現が可能になった。
• マージされた空間分解上の真理値テーブル述語への還元により、固体のブール演算の高速評価が可能になった。
• このライブラリはハイブリッドCPU+GPUアーキテクチャへの移植が進行中であり、境界演算子の疑似逆行列計算を用いたメッシュフリー物理シミュレーションの高速化に強く期待できる。