[論文レビュー] Geometric construction of representations of affine algebras

Hiraku Nakajima|ArXiv.org|Dec 1, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、$\mathbf{C}^2$ 上のヒルベルト scheme の $\gamma$-固定点成分のホモロジーおよび $\Gamma$-等配 $K$-ホモロジーを用いて、アフィンリーリー代数および量子トロイダル代数の表現を構成し、インスタントンとクーヴァー多様体のモジュライ空間を通じてこれらの代数の幾何的実現を確立する。主な結果は、これらのモジュライ空間内のストラトゥムの交差ホモロジー群を用いた、既約表現の特性指標の公式である。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a finite subgroup of $\SL_2(\C)$. We consider $Γ$-fixed point sets in Hilbert schemes of points on the affine plane $\C^2$. The direct sum of homology groups of components has a structure of a representation of the affine Lie algebra $\ag$ corresponding to $Γ$. If we replace homology groups by equivariant $K$-homology groups, we get a representation of the quantum toroidal algebra $\Ut$. We also discuss a higher rank generalization and character formulas in terms of intersection homology groups.

研究の動機と目的

• 有限部分群 $\Gamma \subset \mathrm{SL}_2(\mathbf{C})$ に対応するアフィンリーリー代数 $\widehat{\mathfrak{g}}$ の表現を、$\mathbf{C}^2$ 上のヒルベルト scheme の $\Gamma$-固定点成分のホモロジーを用いて幾何的に実現すること。
• 等配 $K$-ホモロジーを用いて、量子トロイダル代数 $\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\widehat{\mathfrak{g}})$ の表現へのこの構成の拡張。
• 高ランク設定への一般化を図り、交差ホモロジー群を用いた特性指標の公式の提供。
• モジュライ空間の位相と $\widehat{\mathfrak{g}}$ の表現論の関係を結ぶことで、 McKay 対応の幾何的双対を確立すること。

提案手法

• 最小解消 $\pi: M \to \mathbf{C}^2/\Gamma$ を用い、特異点除けの除算が単純リーリー代数 $\mathfrak{g}$ のディンキン図形に、したがって $\widehat{\mathfrak{g}}$ に結びつくようにする。
• $\Gamma$-不変部分スキームのヒルベルト scheme $\operatorname{Hilb}^n(\mathbf{C}^2)^\Gamma$ を構成し、その $\Gamma$-固定点成分を解析する。
• 幾何的サタケ対応および畳み込み代数を用いて、これらの成分のホモロジー群の直和に $\widehat{\mathfrak{g}}$-加群構造を導入する。
• ホモロジーを等配 $K$-ホモロジーに置き換えることで、量子トロイダル代数 $\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\widehat{\mathfrak{g}})$ の表現を手に入れる。
• 局所化定理およびチャーン類写像を用い、等配 $K$-理論とホモロジーを結びつけることで、特性指標の公式を可能にする。
• 写像 $\pi: \mathfrak{M}(\mathbf{w})^A \to \mathfrak{M}_0(\infty,\mathbf{w})^A$ に対する分解定理を用い、ホモロジー群を交差コホモロジー層の形に表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンリーリー代数 $\widehat{\mathfrak{g}}$ の表現は、$\mathbf{C}^2$ 上の $\Gamma$-不変点のヒルベルト scheme からどのように幾何的に構成できるか？
• RQ2 量子トロイダル代数 $\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\widehat{\mathfrak{g}})$ の幾何的起源は、$\Gamma$-等配 $K$-ホモロジーの観点からどのように解釈できるか？
• RQ3 モジュライ空間内のストラトゥムの交差ホモロジー群は、$\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\widehat{\mathfrak{g}})$ の既約表現の特性指標をどのように記述するか？
• RQ4 標準的モジュールが既約商への分解を持つとき、その分解は交差コホモロジー層のような幾何的データによって記述可能か？

主な発見

• $\operatorname{Hilb}^n(\mathbf{C}^2)$ の $\Gamma$-固定点成分のホモロジー群の直和は、$\Gamma$ に対応するアフィンリーリー代数 $\widehat{\mathfrak{g}}$ の自然な作用を持つ。
• ホモロジーを等配 $K$-ホモロジーに置き換えることで、量子トロイダル代数 $\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\widehat{\mathfrak{g}})$ の表現が得られる。
• 重み $\mathbf{w}$ に対応する標準的モジュールは、固定点集合 $\mathfrak{M}(\mathbf{w})^A$ の原点上の纤维のホモロジーと同型であり、基本的表現のテンソル積の商として表せる。
• 既約表現の特性指標は、ストラトゥム $\mathcal{O}_y$ を渡る和として、$i_x^!\mathrm{IC}(\mathcal{O}_y)$ の交差ホモロジーと既約商 $L_y$ のテンソル積で与えられる。
• $H^*(i_x^!\mathrm{IC}(\mathcal{O}_y))$ の次元は、組合せ論的アルゴリズムで計算可能であるが、実用的な計算はメモリを多く要する。
• $w_0 = 0$ のとき、構成は量子ループ代数 $\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\mathfrak{g}})$ に一般化可能であり、標準的モジュールは基本的表現のテンソル積に分解される。