[論文レビュー] Geometric dimension of lattices in classical simple Lie groups

Javier Aramayona, Dieter Degrijse+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、古典的単純リー群における格子 Γ に対して、適切な幾何的次元 𝗱(Γ) がその仮想コhomological次元 𝗩𝗖𝗗(Γ) に等しいことを証明し、長年の未解決問題を解決する。Bredon コhomology と Borel-Serre のボーディフィケーションを用いて、G の対称空間が、次元 𝗩𝗖𝗗(Γ) のコンパクトな Γ-CW 複体と Γ-同相的ホモトピー同値であることを示し、このクラスの格子に対して幾何的次元とコhomological次元が等しいことを確立する。

ABSTRACT

We prove that if $Γ$ is a lattice in a classical simple Lie group $G$, then the symmetric space of $G$ is $Γ$-equivariantly homotopy equivalent to a proper cocompact $Γ$-CW complex of dimension the virtual cohomological dimension of $Γ$.

研究の動機と目的

• 古典的単純リー群における格子 Γ の適切な幾何的次元 𝗱(Γ) がその仮想コhomological次元 𝗩𝗖𝗗(Γ) に等しいかどうかを特定すること。
• 𝑑(Γ) = 𝑉𝐶𝐷(Γ) を満たす群の既知のリストを、特に古典的単純リー群における格子に対して拡張すること。
• このような群 G の対称空間が、次元 𝗩𝗖𝗗(Γ) のコンパクトな Γ-CW 複体と Γ-同相的ホモトピー同値であることを確立すること。
• Bredon コhomology を、これらの格子の 𝑑(Γ) と 𝑉𝐶𝐷(Γ) を計算・比較する代数的道具として用いること。

提案手法

• 適切な幾何的次元の代数的対応として Bredon コhomology を用い、Bredon コhomological 次元と仮想コhomological次元の等しさを示すことで、𝑑(Γ) = 𝑉𝐶𝐷(Γ) を示すことを目的とする。
• 対称空間 S = G/K の Borel-Serre ボーディフィケーション X を、有限安定化群を持つ Γ-CW 複体としての 𝔼Γ のコンパクトモデルとして用いる。
• Borel と Serre の結果を活用し、コンパクト台付きコhomology Hⁿ_c(X) が非自明となる最大の n を 𝑉𝐶𝐷(Γ) として計算する。
• Schanuel の補題とホモロジー代数の技法を用いて、O_FINΓ-モジュールの category 内で定数函手 ℤ の有限自由分解を構成する。
• 長さ 𝗩𝗖𝗗(Γ) の分解を活用し、[26] および [23] の結果を用いて、次元 𝗩𝗖𝗗(Γ) のコンパクトな Γ-CW 複体を構成する。
• 各古典的単純リー群に対して、個別的な補題を用いた場合別分析により、𝑑(Γ) = 𝗩𝗖𝗗(Γ) を検証する（例：SL(n,ℂ), Sp(2n,ℝ), SU(p,q) など）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的単純リー群における格子 Γ の適切な幾何的次元 𝗱(Γ) は、その仮想コhomological次元 𝗩𝗖𝗗(Γ) に等しいか？
• RQ2 対称空間 S = G/K は、次元 𝗩𝗖𝗗(Γ) のコンパクトな Γ-CW 複体と Γ-同相的ホモトピー同値であるか？
• RQ3 どの古典的単純リー群に対して、格子 Γ が 𝗱(Γ) = 𝗩𝗖𝗗(Γ) を満たし、かつ Bredon コhomology を用いて一様に示せるか？
• RQ4 𝑑(Γ) = 𝗩𝗖𝗗(Γ) のとき、S の Borel-Serre ボーディフィケーション X は、𝔼Γ の最小次元のコンパクトモデルを構成するのに適しているか？
• RQ5 一様なコhomological 手法を用いて、すべての古典的単純リー群に対して 𝑑(Γ) = 𝑉𝐶𝐷(Γ) を確立できるか？

主な発見

• 古典的単純リー群 G における任意の格子 Γ に対して、適切な幾何的次元 𝗱(Γ) は、仮想コhomological次元 𝗩𝗖𝗗(Γ) に等しい。
• 対称空間 S = G/K は、次元 𝗩𝗖𝗗(Γ) の適切なコンパクトな Γ-CW 複体と Γ-同相的ホモトピー同値である。
• S の Borel-Serre ボーディフィケーション X は、𝔼Γ のコンパクトモデルとして機能し、その軌道カテゴリ上の細胞鎖複体を用いて、長さ 𝗩𝗖𝗗(Γ) の分解を構成できる。
• SL(n,ℂ), SO(n,ℂ), Sp(2n,ℂ), SL(n,ℝ), SL(n,ℍ), SO(p,q), SU(p,q), Sp(p,q), Sp(2n,ℝ), および SO*(2n) のすべての古典的型に対して、個別的な補題を用いて 𝗱(Γ) = 𝗩𝗖𝗗(Γ) が確立された。
• Bredon 細胞鎖複体における (d-1) 階の境界写像の核が安定的に自由であることを示すことで、長さ 𝗩𝗖𝗗(Γ) の有限自由分解の構成が可能である。
• この結果は、すべての古典的単純リー群における格子に適用可能であり、均一かつ非均一な両方のケースを含む。このクラスの群に対して幾何的次元の問題が完全に解決された。