[論文レビュー] Geometric extension of put-call symmetry in the multiasset setting

Ilya Molchanov, Michael Schmutz|ArXiv.org|Jun 27, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は幾何確率を用いて、多資産オプションへのプット・コール・シンメトリーの拡張を試み、リフトゾノイドを用いて資産リターンの分布を表現する。自己双対的分布（パワー変換下での）が、多資産バリア・オプションおよびバスケット・オプションの準静的ヘッジを可能にすることを確立し、主要な結果として、反射およびスケーリングの下での対称性が、Lévy駆動モデルにおけるオプションプライシング関係を保存することを示している。

ABSTRACT

In this paper we show how to relate European call and put options on multiple assets to certain convex bodies called lift zonoids. Based on this, geometric properties can be translated into economic statements and vice versa. For instance, the European call-put parity corresponds to the central symmetry property, while the concept of dual markets can be explained by reflection with respect to a plane. It is known that the classical univariate log-normal model belongs to a large class of distributions with an extra property, analytically known as put-call symmetry. The geometric interpretation of this symmetry property motivates a natural multivariate extension. The financial meaning of this extension is explained, the asset price distributions that have this property are characterised and their further properties explored. It is also shown how to relate some multivariate asymmetric distributions to symmetric ones by a power transformation that is useful to adjust for carrying costs. A particular attention is devoted to the case of asset prices driven by Lévy processes. Based on this, semi-static hedging techniques for multiasset barrier options are suggested.

研究の動機と目的

• 一変量のプット・コール・シンメトリーを幾何確率および凸幾何学を用いて多資産デリバティブへ一般化すること。
• パワー変換下での自己双対的分布の概念を通じて、プット・コール・シンメトリーを有する多変量分布を同定すること。
• 幾何的対称性を用いて、多資産バリア・オプションおよびバスケット・オプションのための準静的ヘッジ戦略を開発すること。
• リフトゾノイドを通じて、金融オプションプライシングと凸体理論を結びつけ、金融デリバティブの幾何的解釈を可能にすること。

提案手法

• 多資産リターンηの分布を幾何的に表現するために、ランダム・ベクトル(1, η)の期待サポート関数（リフトゾノイド）を用いる。
• ストップ・ロス変換を適用し、オプションのペイオフを凸体のサポート関数に関連付ける。
• パワー変換による反射およびスケーリング変換を用いて、多資産設定におけるプット・コール・シンメトリーを保存する自己双対的分布を同定する。
• 式(6.1)がα ≠ 1で成り立つ条件の下で、標準オプションの組み合わせによるレプリカションを可能にする対称性を活用し、準静的ヘッジ戦略を導出する。
• ランダム集合のAumann期待値を用いてリフトゾノイドを定義し、ηの分布を一意に特徴付ける。
• 式(6.1)がα₁およびα₂で成り立つ場合、ヘッジを変換されたスプレッド・オプションのポジション（長期）とその双対（空売り）に修正可能であることを応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一変量の場合のプット・コール・シンメトリーを、幾何的および確率的ツールを用いて多資産オプションへどのように一般化できるか？
• RQ2 どの多変量分布がプット・コール・シンメトリーの幾何的拡張を許容し、それらはどのように特徴づけられるか？
• RQ3 対称性の性質を用いて、多資産バリア・オプションおよびバスケット・オプションのための準静的ヘッジ戦略をどのように構築できるか？
• RQ4 Lévy過程は、多資産設定におけるプット・コール・シンメトリーを保存または拡張するために果たす役割は何か？
• RQ5 パワー変換を用いて非対称な多変量分布を対称な分布に関連づけられるか？そして、これはヘッジ戦略にどのように影響を与えるか？

主な発見

• ランダム・ベクトルηのリフトゾノイドは、その分布を一意に決定し、多資産オプションプライシングの幾何的表現を可能にする。
• プット・コール・パリティは、リフトゾノイドの中心対称性に対応し、双対市場は超平面に関する反射から生じる。
• パワー変換下での自己双対的分布（例：α ≠ 1の式(6.1)）は、多資産設定における対称的オプションプライシングおよびヘッジを可能にする。
• ノックイン・バスケット・オプションのための準静的ヘッジは、(S_Ti / H)^{α-1}に資産価格の線形結合を乗じた変換されたペイオフを用い、空売りポジションは変更なしに構築可能である。
• バリア・オプションでは、バリアに達した際にヘッジを動的に調整でき、式(6.2)の対称性を用いて損失を被ることなくポジションを入れ替えることができる。
• Lévy過程に対しても、パワー変換条件(6.1)が成り立つ限り、本手法は有効であり、ジャンプを伴う場合でも頑健なヘッジ戦略を可能にする。