[論文レビュー] Geometric formulation of quantum mechanics

Hoshang Heydari|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2015

Quantum Mechanics and Applications参考文献 27被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、射影ヒルバート空間上のシンプレクティック構造とリーマン構造を用いた量子力学の幾何的定式化を提示する。ハミルトニアン・フローを通じて古典的および量子的運動を統一的に扱う。主ファイバー・バンドルの枠組みにより、幾何位相、不確定性関係、量子測定といった幾何的概念を純粋状態および混合状態の両方に拡張し、量子理論の背後にある内在的な幾何的構造を明らかにする。

ABSTRACT

Quantum mechanics is among the most important and successful mathematical model for describing our physical reality. The traditional formulation of quantum mechanics is linear and algebraic. In contrast classical mechanics is a geometrical and non-linear theory that is defined on a symplectic manifold. However, after invention of general relativity, we are convinced that geometry is physical and effect us in all scale. Hence the geometric formulation of quantum mechanics sought to give a unified picture of physical systems based on its underling geometrical structures, e.g., now, the states are represented by points of a symplectic manifold with a compatible Riemannian metric, the observables are real-valued functions on the manifold, and the quantum evolution is governed by a symplectic flow that is generated by a Hamiltonian function. In this work we will give a compact introduction to main ideas of geometric formulation of quantum mechanics. We will provide the reader with the details of geometrical structures of both pure and mixed quantum states. We will also discuss and review some important applications of geometric quantum mechanics.

研究の動機と目的

• 基礎となる多様体の役割に注目し、幾何学的定式化を通じて古典力学と量子力学を統一すること。
• シンプレクティック幾何学およびリーマン幾何学といった幾何的構造を、純粋状態にとどまらず、密度演算子で記述される混合量子状態へと拡張すること。
• ファイバー・バンドルおよび運動量写像の言語を用いて、測定、運動、不確定性といった量子力学の公理的原則の幾何的基盤を提供すること。
• ホロノミーおよび純化を用いて、混合状態への幾何位相概念を一般化し、厳密かつ幾何学的に洗練された枠組みを提供すること。
• 微分幾何学に裏打ちされた、量子情報分野への応用を探索すること。具体的には、量子速度限界、エネルギー分散、幾何的不確定性を含む。

提案手法

• 純粋な量子状態を、シンプレクティック幾何学とリーマン幾何学を統合したケーラー構造を備えた複素射影ヒルバート空間 P(H) 上の点として表現する。
• ハミルトニアン演算子の期待値によって生成されるハミルトニアン・フローとして量子力学的運動を P(H) 上でモデル化し、シュレーディンガー方程式をシンプレクティック・フローとして用いる。
• U(1) 主ファイバー・バンドルにおける水平上りのホロノミーを用いて、純粋状態の幾何位相を定義し、機械的接続および時系列指数関数を用いて平行移動を扱う。
• 混合状態へと枠組みを拡張するため、密度演算子の空間 D(σ) 上の主ファイバー・バンドルを導入し、純化を用いて高次元空間における純粋状態に混合状態を上昇させる。
• バンドル上に機械的接続を構成し、水平上りおよびホロノミーを定義することで、Tr(ψ†₀Π[ρ]ψ₀) を用いた混合状態の幾何位相の定義を可能にする。
• 状態多様体上のリーマン計量およびシンプレクティック構造を用いて、幾何的不確定性関係および量子エネルギー分散を導出し、それらを量子ゆらぎおよび速度限界と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック多様体およびリーマン多様体といった幾何的構造を用いて、純粋に代数的・線形的 Formalism に依存するのではなく、どのようにして量子力学を再定式化できるか？
• RQ2 量子力学的運動の幾何的性質は何か？ そして、射影ヒルバート空間上のハミルトニアン・フローとどのように関係するか？
• RQ3 混合量子状態に対して幾何位相を一貫して定義するにはどうすればよいか？ また、純化およびホロノミーはこの構成において果たす役割は何か？
• RQ4 リーマン計量および状態多様体上のシンプレクティック構造を用いて、量子不確定性およびエネルギー分散の幾何的定式化はどのようになされるか？
• RQ5 ファイバー・バンドルおよび運動量写像の枠組みを用いて、純粋状態および混合状態の両方において、量子力学の基礎的公理を幾何学的言語に再表現できるか？

主な発見

• 純粋な量子状態は、ケーラー多様体（射影ヒルバート空間）上の点として幾何学的に表現され、シンプレクティック構造およびリーマン構造を両方とも備える。
• 量子力学的運動は、ハミルトニアン演算子の期待値によって生成されるハミルトニアン・フローとして射影ヒルバート空間上で対応し、シュレーディンガー方程式はシンプレクティック・フローとして導かれる。
• 純粋状態の幾何位相は、U(1) 主ファイバー・バンドルにおける水平上りのホロノミーを用いて定義され、任意のユニタリ遷移へのベリー位相の一般化を実現する。
• 混合状態では、密度演算子の空間上のファイバー・バンドルにおける水平上りのホロノミーを用い、純化および機械的接続を介して幾何位相が定義される。
• 幾何的不確定性関係はリーマン計量およびシンプレクティック構造から導かれ、量子ゆらぎの幾何的解釈を提供する。
• 混合 qubit 状態の幾何位相は、γ_g(ρ) = arg[Tr(ψ†₀Π[ρ]ψ₀)] として明示的に計算され、状態のパラメータおよび時間発展演算子を含む閉形式の式が得られる。