[論文レビュー] Geometric Langlands Correspondence Near Opers

Edward Frenkel, Constantin Teleman|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、平坦な $^L G$-束のモジュライ空間におけるオペルの形式的近傍上の両立するコherent層の導来圏と、$\operatorname{Bun}_G$ 上の $\mathscr{D}^s$-加群の導来圏の間の同値を確立することにより、Beilinson–Drinfeldの幾何的ラングランズ対応を拡張する。主な結果は、両側の構造層の導来自己準同型代数の $A_\infty$-同値であり、$A_\infty$-構造はオペルの形式的近傍におけるラグランジュ的変形が非障害的であることから、厳密に可換である。

ABSTRACT

We extend the categorical geometric Langlands correspondence from the locus of opers in the stack of de Rham local systems on a smooth projective algebraic curve to the formal neighborhood of opers (for any semi-simple complex algebraic group).

研究の動機と目的

• 平坦な $^L G$-束のモジュライ空間におけるオペルの点でのスキーム的台からのBeilinson–Drinfeld同値を、オペルの形式的近傍へ一般化すること。
• $\operatorname{Loc}_{^L G}$ におけるオペルの形式的近傍に台を持つコherent層の導来圏と、$\operatorname{Bun}_G$ 上の $\mathscr{D}^s$-加群の導来圏の間の同値を確立すること。
• $\mathscr{D}^s$-加群の導来自己準同型代数における $A_\infty$-構造が厳密に可換であることを示し、双対側の $A_\infty$-構造に対しても同様に厳密に可換であることを示すこと。
• オペルの形式的近傍におけるゼロ切断のラグランジュ的変形が一階まで非障害的であるような唯一のポアソン構造は、標準的シンプレクティック形式の定数倍であるが、これは $\mathrm{Ext}^\bullet$ 計算によって除外され、ポアソン構造が消えることになる。

提案手法

• $\operatorname{Bun}_G$ 上の $\mathscr{D}^s$-加群 $\mathscr{D}^s$ の導来自己準同型代数を計算し、$\operatorname{Op}_{^L G}$ 上の構造層 $\mathscr{O}_{\operatorname{Op}_{^L G}}$ の $\mathrm{Ext}$-代数と同定すること。
• Koszul双対性を用いて、$\mathscr{D}^s$ の $\mathrm{Ext}$-代数を、$\operatorname{Op}_{^L G}$ のコタングェントバンドル内での形式的近傍の変形と関連付けること。
• Weinsteinのチューブ近傍定理の形式的版を用いて、オペルの形式的近傍におけるポアソン構造を分析すること。
• ゼロ切断（オペルの第一階変形に対応）のラグランジュ的変形が非障害的であることは、ポアソン構造が標準的シンプレクティック形式の定数倍でなければならないことを示すこと。
• 標準的シンプレクティックポアソン構造は、$\mathrm{Ext}^\bullet$ 計算によって除外され、これは $\mathrm{Ext}^\bullet$-代数がゼロでない次数に非自明に分布していることと矛盾する。
• したがって、$\mathrm{Ext}$-代数における $A_\infty$-構造は厳密に可換であり、双対側の $A_\infty$-構造に対しても同様に厳密に可換であることが結論づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Beilinson–Drinfeld同値は、オペルにおけるスキーム的台から、オペルの形式的近傍へ拡張可能か？
• RQ2 $\operatorname{Bun}_G$ 上の $\mathscr{D}^s$-加群の導来自己準同型代数の構造は何か？
• RQ3 オペルの形式的近傍におけるポアソン構造は、$\mathrm{Ext}$-代数の $A_\infty$-構造にどのように制約を加えるか？
• RQ4 オペルの形式的近傍におけるゼロ切断の第一階ラグランジュ的変形が、すべての階数で非障害的となる条件は何か？
• RQ5 なぜポアソン構造が消えると、$\mathrm{Ext}$-代数における $A_\infty$-構造が厳密に可換になるのか？

主な発見

• $\mathscr{D}^s$ の導来自己準同型代数は、$\mathscr{O}_{\operatorname{Op}_{^L G}}$ の $\mathrm{Ext}$-代数と同型であり、両側の対応における重要な接続を確立する。
• $A_\infty$-構造は厳密に可換である。なぜなら、非障害的ラグランジュ的変形を許す唯一のポアソン構造は標準的シンプレクティック形式の定数倍であるが、これは $\mathrm{Ext}^\bullet$ 計算によって除外されるからである。
• オペルの形式的近傍におけるポアソン構造は消える。なぜなら標準的シンプレクティックポアソン構造は $\mathrm{Ext}$-代数を $\mathbb{C}$ に収縮させ、非自明な $\mathrm{Ext}^\bullet$ 計算と矛盾するからである。
• $\mathscr{D}^s$ の $\mathrm{Ext}^\bullet$-代数における $A_\infty$-構造は厳密に可換であり、これは双対側の $A_\infty$-構造に対しても同様に厳密に可換であることを示唆する。
• $\widehat{\mathfrak{g}}$-加群の射影的な完全系列のなす全カテゴリー $EV$ における、$\mathbb{V}_{\operatorname{crit}}$ の有限回の逐次拡張の全カテゴリーへの局所化関手は、$A_\infty$-準同型が適切に定義されることを保証する。
• $EV$ の部分カテゴリーにおける $\mathrm{Ext}^\bullet$ 群は、全ハリシュ・チャンドラカテゴリーにおけるものと一致する。これは $\mathrm{Ext}^1$ が生成され、$EV$ 内の形式的変形によって可換性が強制されるからである。