[論文レビュー] Geometric Langlands From Six Dimensions

Edward Witten|ArXiv.org|May 17, 2009

Advanced Algebra and Geometry被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、4次元N=4超対称ヤン・ミルズ理論における電磁双対性が、6次元(2,0)超共形場理論から導かれるものであり、その結果として幾何学的ラングランズ双対性が生じることを提案している。主な結果は、トーラスへのコンパクト化から、τ → −1/τ の下での双対性の対称性が自然に現れることであり、これは6次元理論の非摂動的構造を通じて、4次元および複素曲面上のラングランズ対応に物理的起源を与える。

ABSTRACT

Geometric Langlands duality is usually formulated as a statement about Riemann surfaces, but it can be naturally understood as a consequence of electric-magnetic duality of four-dimensional gauge theory. This duality in turn is naturally understood as a consequence of the existence of a certain exotic supersymmetric conformal field theory in six dimensions. The same six-dimensional theory also gives a useful framework for understanding some recent mathematical results involving a counterpart of geometric Langlands duality for complex surfaces. (This article is based on a lecture at the Raoul Bott celebration, Montreal, June 2008.)

研究の動機と目的

• 6次元(2,0)超共形場理論を基盤とするフレームワークとして、幾何学的ラングランズ双対性の物理的導出を確立すること。
• 4次元N=4 SYMにおける電磁双対性が、トーラスへのコンパクト化によってどのように生じるかを説明すること。
• 非可換ゲルベと非摂動的効果が、次元削減における非古典的振る舞いの文脈で双対性を実現する役割を明確にすること。
• 同じ6次元理論を用いて、リーマン面における双対性と複素曲面上の双対性を統一的に扱うことで、双対性フレームワークを複素曲面へと拡張すること。

提案手法

• 4次元N=4超ヤン・ミルズ理論のUV完成として6次元(2,0)理論を用い、トーラスT² = S¹ × S̃¹へのコンパクト化により5次元有効理論を得る。
• 半径Rの円へのコンパクト化後の有効5次元作用を解析し、1/Rに比例することを示し、これは標準的なゲージ理論では記述できない非古典的起源（ゲルベ的構造）を示唆する。
• 2番目の円（半径S）への次元削減を適用し、4次元有効作用がS/Rに比例することを示し、初期の幾何的対称性がS/Rの対称性を破ることを明らかにする。
• τ → −1/τ におけるモジュラー不変性（τ = iS/R）を用いて、4次元理論における電磁双対性を導出し、ラングランズ双対性の対称性と関連付ける。
• カテゴリ理論的構造（境界条件やDブレーンのカテゴリなど）を用いて、QFT階層における高次元のデータを形式化し、幾何的ラングランズにおける数学的構造と接続する。
• 6次元理論の共形不変性と異常キャンセレーションを用いて、1/Rスケーリングの正当化を行い、これは古典的ゲージ理論では説明できないが、ゲルベまたは非可換高次ゲージ理論の記述を要請する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6次元(2,0)理論は、4次元における幾何学的ラングランズ双対性にどのように物理的起源を与えるか？
• RQ2 コンパクト化後の有効5次元作用がなぜ1/Rに比例するのか？これはどのような量子的構造を示唆するか？
• RQ3 6次元理論がトーラスにコンパクト化されたとき、どのようにしてτ → −1/τ のモジュラー変換が生じるのか？その物理的意義は何か？
• RQ4 標準的ゲージ理論が1/Rスケーリングを再現できない場合、非可換ゲルベは双対性を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 同じ6次元理論が、リーマン面上の幾何学的ラングランズ双対性と複素曲面上のそれとをどのように同時に説明できるか？

主な発見

• 6次元(2,0)理論は、トーラスへのコンパクト化を通じて4次元N=4 SYMとその電磁双対性が生じる統一的物理的フレームワークを提供する。
• 半径Rの円へのコンパクト化後の有効5次元作用は1/Rに比例し、これは標準的ゲージ理論では記述できない非古典的起源を示しており、ゲルベ的構造を要請する。
• 2重コンパクト化後の4次元有効作用はS/Rに比例し、τ → −1/τ（τ = iS/R）における対称性が実現される。これにより、4次元理論の電磁双対性が確認される。
• τ → −1/τ におけるこの双対性対称性が、幾何的ラングランズ対応におけるラングランズ双対性の物理的起源である。
• 同じ6次元理論は、複素曲面上の幾何的ラングランズ双対性を理解するためのフレームワークを提供し、リーマン面を超えてその適用範囲を拡張する。
• 6次元理論の共形不変性は1/Rスケーリングの根拠となり、計量のスケーリングに対して保存され、有効作用の整合性を保証する。