[論文レビュー] Gauge Theory and Langlands Duality

Edward Frenkel|ArXiv.org|Jun 15, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 29被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、数学における幾何的ラングランズ理論と4次元N=4超対称ゲージ理論におけるS双対性の深い関係を確立し、ゲージ理論の電磁双対性が再び半単純群のラングランズ双対性に正確に対応することを示している。主な貢献は、トポロジカル量子場理論とヒチン系の鏡映性を介して、幾何的ラングランズ対応の物理的実現である。

ABSTRACT

The Langlands Program was launched in the late 60s with the goal of relating Galois representations and automorphic forms. In recent years a geometric version has been developed which leads to a mysterious duality between certain categories of sheaves on moduli spaces of (flat) bundles on algebraic curves. Three years ago, in a groundbreaking advance, Kapustin and Witten have linked the geometric Langlands correspondence to the S-duality of 4D supersymmetric gauge theories. This and subsequent works have already led to striking new insights into the geometric Langlands Program, which in particular involve the Homological Mirror Symmetry of the Hitchin moduli spaces of Higgs bundles on algebraic curves associated to two Langlands dual Lie groups.

研究の動機と目的

• 量子場理論におけるラングランズプログラムとS双対性の間の深い数学的・物理的双対性を調査すること。
• ラングランズ双対性という統一的概念を通じて、数論と量子ゲージ理論の橋渡しをすること。
• 幾何的ラングランズ対応が、トポロジカルN=4ヤン・ミルズ理論におけるS双対性から自然に生じることを示すこと。
• ヒチンモジュライ空間の鏡映性が、幾何的ラングランズ対応を符号化することを示すこと。
• 電磁双対性の観点から、ラングランズ双対群の物理的解釈を提示すること。

提案手法

• 4次元多様体上でのN=4超対称ヤン・ミルズ理論のトポロジカルなねじれを用いて、トポロジカル量子場理論（TQFT）を構成する。
• 次元削減を適用して、4次元TQFTとヒチンモジュライ空間上の2次元シグマ模型を関連付ける。
• リーマン面上のヒッグス bundle をパラメトライズするヒチン系を、双対性の背後にあるモジュライ空間として用いる。
• カプスチン＝ウィッテンの構成を用いて、幾何的ラングランズ対応をカテゴライズ化されたS双対性として同定する。
• 双対群Gと{}^{L}Gのヒッグス bundle のモジュライ空間を、鏡映性を介して関連付ける。
• 幾何的設定におけるラングランズプログラムを通じて、自己同型層とガロア表現の対応を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N=4超対称ゲージ理論におけるS双対性は、再び半単純群のラングランズ双対性とどのように関係するか？
• RQ2 幾何的ラングランズ対応は、量子場理論における物理的原理から導けるか？
• RQ3 ヒチンモジュライ空間は、鏡映性を介してラングランズ対応を実現する上で果たす役割は何か？
• RQ4 ゲージ理論における電磁双対性は、数学におけるラングランズ双対群とどのように対応するか？
• RQ5 トポロジカル場理論とカテゴライズ化された双対性の観点から、幾何的ラングランズ対応の物理的意味は何か？

主な発見

• 幾何的ラングランズ対応は、N=4超ヤン・ミルズ理論のトポロジカルなねじれにおけるS双対性として実現される。
• 群Gのヒッグス bundle のモジュライ空間は、そのラングランズ双対{}^{L}Gのそれと鏡映的に双対であり、幾何的ラングランズ対応を実現する。
• カプスチン＝ウィッテンの構成により、ライン演算子とヘッケ固有層の対応を通じて、幾何的ラングランズ対応の物理的導出がなされる。
• S双対性変換(G, g) ↔ ({}^{L}G, 1/g) は、一方のゲージ理論の弱い結合定数領域を、他方の理論の強い結合定数領域に写像し、非摂動的洞察を可能にする。
• 幾何的設定における自己同型層とガロア表現の対応は、量子場理論の双対性を通じて物理的に実現される。
• 幾何的ラングランズ対応の分岐版は、ゲージ理論における表面演算子と穴（パuncture）によって記述され、グコフとウィッテンの後続の研究で示された。