[論文レビュー] Geometric measure of entanglement of symmetric d-qubits is polynomial-time computable

Shmuel Friedland, Li Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2変数の対称dモードテンソルのスペクトルノルムに対する閉形式の公式を導出することにより、対称d-キュービットにおける量子もつれの幾何学的測度が多項式時間で計算可能であることを確立している。この手法により、次数が最大 (d−1)²+1 である単変数多項式の根を求める問題に帰着され、標準的な根の探索アルゴリズムを用いて効率的に計算可能となり、例外的な場合に対しても多項式時間の近似が可能である。

ABSTRACT

We give a simple formula for finding the spectral norm of d-mode symmetric tensor in two variables over the complex or real numbers in terms of the complex or real roots of a corresponding polynomial in one complex variable. This result implies that the geometric measure of entanglement of symmetric d-qubits is polynomial-time computable. We discuss a generalization to d-mode symmetric tensor in more than two variables.

研究の動機と目的

• 量子情報理論において中心的役割を果たす、対称d-キュービットにおけるもつれの幾何的測度の計算複雑性を解明すること。
• 複素数および実数の両分野における対称d-キュービットのスペクトルノルムを解析的に計算するための手法を開発すること。
• スペクトルノルムの計算が単変数多項式方程式の解法に帰着されることを示し、多項式時間アルゴリズムの実現を可能にすること。
• 実対称テンソルへの枠組みの拡張を図り、例外的な場合の近似を提供すること。
• n ≥ 3 水準を持つ対称d-クーディットについても多項式時間計算可能であると予想すること。

提案手法

• 次数が最大 (d−1)²+1 である単変数多項式の根を含む関数の最大値として、対称d-キュービットのスペクトルノルムの公式を導出する。
• バナッハの定理によるスペクトルノルムの特徴付けを用い、同次多項式が単位球面上で有する臨界点と関連付ける。
• 複素数および実数空間における多項式写像の固定点および反固定点の数を評価するための次数論を適用する。
• テンソルの対称性および体の種別に応じて、導出された多項式 zv(z) − u(z) の複素数または実数の根を計算する問題に帰着する。
• 単変数多項式の根の探索に標準的な数値アルゴリズムを用い、多項式時間の精度保証を有する。
• 主な公式が適用できない例外的な対称d-キュービットの家族に対して、多項式時間の近似アルゴリズムを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称d-キュービットにおけるもつれの幾何的測度は多項式時間で計算可能か？
• RQ2 対称d-キュービットのスペクトルノルムと単変数多項式の根との関係は何か？
• RQ3 実数および複素数の対称d-キュービットにおけるスペクトルノルムの計算はどのように異なるか？
• RQ4 対称テンソルに関連する多項式写像の臨界点の構造は何か？
• RQ5 n ≥ 3 水準を持つ対称d-クーディットのスペクトルノルムについても多項式時間で計算可能か？

主な発見

• 対称d-キュービットのスペクトルノルムは、次数が最大 (d−1)²+1 である単変数多項式の根を求める問題に帰着されることにより、多項式時間で計算可能である。
• 実対称d-キュービットの場合、実スペクトルノルムは次数が最大 d+1 の多項式の実数根にのみ依存する。
• 単変数多項式の根の探索アルゴリズムの効率性のおかげで、対称d-キュービットにおけるもつれの幾何的測度は多項式時間で計算可能である。
• 例 A.15 において、スペクトルノルムは 0.3953 として計算され、既知の値 √(5/32) と一致した。
• 例 A.16 において、スペクトルノルムは 0.4125 として計算され、理論的値 √(28/243) と整合的であった。
• 本手法は、主な公式が適用できない例外的な対称d-キュービットの家族に対しても多項式時間の近似を提供する。