[論文レビュー] Geometric Phases for Three State Systems

Mark Byrd|ArXiv.org|Feb 17, 1999

Molecular spectroscopy and chirality参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、SU(3)群論を用いて、3準位量子系における幾何的位相を計算する包括的なフレームワークを提示する。SU(3)のオイラー角パrameterizationを用いることで、アーベル型および非アーベル型接続1形式（ゲージポテンシャル）を明示的に導出しており、断熱的遷移を伴う3準位系における幾何的位相の体系的かつ一般化可能なアプローチを可能にする。

ABSTRACT

The adiabatic geometric phases for general three state systems are discussed. An explicit parameterization for space of states of these systems is given. The abelian and non-abelian connection one-forms or vector potentials that would appear in a three dimensional quantum system with adiabatic characteristics are given explicitly. This is done in terms of the Euler angle parameterization of SU(3) which enables a straight-forward calculation of these quantities and its immediate generalization.

研究の動機と目的

• 3準位量子系における幾何的位相を計算する一般的で明示的な形式的体系を構築すること。
• 2準位系を超える高次元系における非アーベル型幾何的位相に対する体系的でない手法の欠如に応えること。
• 3準位系の状態空間をパラメータ化し、幾何的接続形式の計算を容易にするもの。
• 従来2準位系で研究されてきた幾何的位相の概念を、アーベル型および非アーベル型構造を有する3準位系へと拡張すること。
• 3準位原子や量子情報におけるクイジットなど、物理的系への幾何的位相理論の直接的応用を可能にすること。

提案手法

• 3準位量子系の状態空間を記述するために、SU(3)群のオイラー角パラメータ化を用いる。
• このパラメータ化において、アーベル型および非アーベル型幾何的位相の接続1形式（ゲージポテンシャル）を導出する。
• 微分幾何的手法を用いて、接続1形式に関連する曲率形式を計算する。
• すべての量をSU(3)群の元およびそのパラメータで表現することで、形式的体系の一般化可能性を保証する。
• 状態経路のホロノミーから幾何的位相が生じることを保証する断熱的遷移条件を維持する。
• オイラー角およびその微分を用いた接続1形式の明示的代数的表現を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群論的手法を用いて、3準位量子系における幾何的位相をどのように体系的に計算できるか？
• RQ2 3準位系におけるアーベル型および非アーベル型接続1形式の明示的形は何か？
• RQ3 SU(3)のオイラー角パラメータ化は、高次元系における幾何的位相の計算をどのように容易にするか？
• RQ4 断熱的遷移下における3準位系のゲージポテンシャルおよび曲率の構造は何か？
• RQ5 この形式的体系は、3準位を越える他の多準位量子系へ一般化可能か？

主な発見

• 本稿では、SU(3)のオイラー角を用いて、3準位系におけるアーベル型および非アーベル型接続1形式の明示的表現を提供する。
• 幾何的位相構造は、SU(3)パラメータ空間内での状態経路のホロノミーによって完全に特徴付けられる。
• ハミルトニアンの明示的対角化を必要とせず、幾何的位相を直接計算することが可能である。
• 導出された接続1形式は、3準位系の任意の断熱的遷移に対して有効である。
• SU(N)フレームワークを拡張することで、3準位を越える系に対しても自然に一般化可能である。
• 接続1形式の曲率が計算され、非アーベル型幾何的位相構造と整合的であることが示された。