[論文レビュー] Geometric pressure for multimodal maps of the interval

Feliks Przytycki, Juan Rivera‐Letelier|arXiv (Cornell University)|May 10, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非平坦臨界点をもつ一般化されたマルチモーダル区間写像における、非一様的双曲性および幾何的圧力の複数の概念の同値性を確立する。すべての周期軌道が双曲的吸引的であるという条件下で、幾何的圧力関数 $ P(t) $ が $ (t_-, t_+) $ 上で実解析的であることを証明し、この区間内の各 $ t $ に対して、強い統計的性質をもつ一意の平衡測度および自己同型測度が存在することを示す。

ABSTRACT

This paper is an interval dynamics counterpart of three theories founded earlier by the authors, S. Smirnov and others in the setting of the iteration of rational maps on the Riemann sphere: the equivalence of several notions of non-uniform hyperbolicity, Geometric Pressure, and Nice Inducing Schemes methods leading to results in thermodynamical formalism. We work in a setting of generalized multimodal maps, that is smooth maps f of a finite union of compact intervals in R into R with non-flat critical points, such that on its maximal forward invariant set K the map f is topologically transitive and has positive topological entropy. We prove that several notions of non-uniform hyperbolicity of f|_K are equivalent (including uniform hyperbolicity on periodic orbits, TCE & all periodic orbits in K hyperbolic repelling, Lyapunov hyperbolicity, and exponential shrinking of pull-backs). We prove that several definitions of geometric pressure P(t), that is pressure for the map f|_K and the potential - t log |f'|, give the same value (including pressure on periodic orbits, "tree" pressure, variational pressures and conformal pressure). Finally we prove that, provided all periodic orbits in K are hyperbolic repelling, the function P(t) is real analytic for t between the "condensation" and "freezing" parameters and that for each such t there exists unique equilibrium (and conformal) measure satisfying strong statistical properties.

研究の動機と目的

• リーマン球面上の有理写像における熱力学的形式主義の結果を、区間力学系へと拡張すること。特に、一般化されたマルチモーダル写像を対象とする。
• 区間設定における非一様的双曲性のさまざまな定義を統一し、それらの同値性を証明すること。
• 最大区間 $ (t_-, t_+) $ 上での幾何的圧力 $ P(t) $ の解析的性質を確立すること。ここで $ t_- $ および $ t_+ $ は凝縮パラメータおよび凍結パラメータである。
• 各 $ t \in (t_-, t_+) $ に対して、強い統計的性質をもつ一意の平衡測度および自己同型測度の存在を証明すること。
• 良い誘導スキームを構築・適用し、誘導写像の圧力と元の写像の圧力を結びつけることにより、解析的性質および測度の存在を保証すること。

提案手法

• 滑らかな写像 $ f: \widehat{I} \to \mathbb{R} $ のクラスに属する一般化されたマルチモーダル写像を扱う。ここで $ \widehat{I} $ はコンパクト区間の有限個の和集合であり、非平坦臨界点をもつ。
• 最大の前進不変集合 $ K \subset \widehat{I} $ を定義し、$ f|_K $ が位相的トランスティティブで正の位相的エントロピーを持つこととする。
• '良い誘導スキーム'の概念を用いて、良い集合上の標準的な誘導写像を構成し、誘導系による圧力計算を可能にする。
• 幾何的圧力の定義の同値性を証明する：周期軌道上の圧力、'木'圧力、変分的圧力、および自己同型圧力。
• 誘導スキームを用いて、誘導写像から元の写像への解析的性質の伝播を示し、後退的自己同型圧力およびパットソン＝サリヴァン型構成を用いる。
• 誘導法を用いて平衡測度の存在を確立し、それが自己同型的で強い統計的性質をもつことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたマルチモーダル区間写像において、周期軌道上の一様的双曲性、TCE、リャプノフ双曲性、およびプルバックの指数的収縮といった、非一様的双曲性のさまざまな概念は同値であるか？
• RQ2 周期軌道上の圧力、木圧力、変分的圧力、自己同型圧力といった幾何的圧力の異なる定義は、潜在力 $ -t\log|f'| $ をもつ $ f|_K $ に対して同一の値を返すか？
• RQ3 幾何的圧力関数 $ P(t) $ は、凝縮パラメータ $ t_- $ および凍結パラメータ $ t_+ $ を端点とする全区間 $ (t_-, t_+) $ 上で実解析的か？
• RQ4 各 $ t \in (t_-, t_+) $ に対して、一意の平衡測度が存在し、それが自己同型的かつ強い統計的性質を満たすか？
• RQ5 導関数の成長条件や遅い再帰性の仮定を課さずに、周期軌道の双曲的吸引的条件のみを仮定して、自己同型測度の存在と一意性を確立できるか？

主な発見

• 集合 $ K $ 内のすべての周期軌道が双曲的吸引的であることは、周期軌道上の一様的双曲性、TCE、リャプノフ双曲性、およびプルバックの指数的収縮と同値である。
• 幾何的圧力 $ P(t) $ は開区間 $ (t_-, t_+) $ 上で実解析的であり、$ t_- $ および $ t_+ $ はそれぞれ凝縮パラメータおよび凍結パラメータである。
• 各 $ t \in (t_-, t_+) $ に対して、一意の平衡測度および一意の自己同型測度が、潜在力 $ -t\log|f'| $ に対して存在する。
• 一意の平衡測度は、指数的相関減衰および中心極限定理を含む強い統計的性質を満たす。
• すべての周期軌道が双曲的吸引的であるという仮定の下で、幾何的圧力の定義（周期軌道圧力、木圧力、変分的圧力、自己同型圧力）の同値性が成立する。
• 証明により、$ P(t) = -t \chi(p) $ が成り立つのは $ t = t_- $ または $ t = t_+ $ のみであり、解析的領域の最大性が確認される。