[論文レビュー] Geometric Quantization of the Phase Space of a Particle in a Yang-Mills Field

M.A. Robson|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 1994

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 37被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、リーマン多様体上を運動する粒子に対して幾何学的量子化を適用し、その位相空間を主 bundle の余接 bundle の Marsden-Weinstein 減少として扱う。古典的観測可能量から量子演算子への写像を構成し、それらが半直積群 Aut~N ⋉ C∞c(Q) の表現の生成子として同定され、一般化された Aharonov-Bohm 効果を示し、ゲージ接続が量子力学において果たす役割を明確にする。

ABSTRACT

The method of geometric quantization is applied to a particle moving on an arbitrary Riemannian manifold $Q$ in an external gauge field, that is a connection on a principal $H$-bundle $N$ over $Q$. The phase space of the particle is a Marsden-Weinstein reduction of $T^*N$, hence this space can also be considered to be the reduced phase space of a particular type of constrained mechanical system. An explicit map is found from a subalgebra of the classical observables to the corresponding quantum operators. These operators are found to be the generators of a representation of the semi-direct product group, Aut~$N\lx C^\infty_c(Q)$. A generalised Aharanov-Bohm effect is shown to be a natural consequence of the quantization procedure. In particular the rôle of the connection in the quantum mechanical system is made clear. The quantization of the Hamiltonian is also considered. Additionally, our approach allows the related quantization procedures proposed by Mackey and by Isham to be fully understood.\\

研究の動機と目的

• リーマン多様体上にゲージ場にカップルされた粒子に対して、一貫性のある幾何学的量子化フレームワークを構築すること。
• 明示的な演算子構成を通じて、ゲージ接続が量子力学において果たす役割を明確化すること。
• 位相空間の還元から生じる量子表現構造を理解すること。
• 一般化された Aharonov-Bohm 効果を、量子化手順の自然な結果として解釈すること。
• Mackey と Isham の先行する量子化アプローチを、幾何学的量子化の枠組み内で統合・明確化すること。

提案手法

• 位相空間は、リーマン多様体 Q 上の主 H-束 N の余接 bundle T*N の Marsden-Weinstein 減少として構成される。
• 極化と前量子線束の構成を用いて、還元された位相空間に幾何学的量子化を適用する。
• 標準的な幾何学的量子化の手続きに従い、古典的観測可能量の部分代数を量子演算子へ写像する。
• 量子演算子が、Aut~N と C∞c(Q) の半直積群 Aut~N ⋉ C∞c(Q) のユニタリ表現を生成することが示される。ここで Aut~N は束の自己同型群を表す。
• 主束上の接続 1-形式が、量子力学的位相およびホロノミー構造と明示的に関連付けられる。
• ハミルトニアンは、同じ枠組み内で量子化され、系のシンプレクティックおよびバンドル構造が保存される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のリーマン多様体上に存在するゲージ場中の粒子に対して、幾何学的量子化を一貫して適用する方法は何か？
• RQ2 特にホロノミーと位相因子の観点から、結果として得られる量子理論においてゲージ接続が果たす正確な役割は何か？
• RQ3 幾何学的量子化によって構成された量子演算子は、どのようにして半直積群 Aut~N ⋉ C∞c(Q) の表現を実現するか？
• RQ4 一般化された Aharonov-Bohm 効果は、幾何学的量子化手順からどのように自然に生じるか？
• RQ5 Mackey と Isham のアプローチは、この幾何学的量子化フレームワークにおいてどのように関係し合い、どのように明確化されるか？

主な発見

• 幾何学的量子化によって構成された量子演算子は、ユニタリ表現の生成子として同定され、量子系に群論的構造をもたらす。
• 一般化された Aharonov-Bohm 効果は、ゲージ接続のホロノミーから自然に生じ、量子位相が主束の曲率および位相的性質に依存する。
• 量子化手順は明示的に、ゲージ接続が、場強度がゼロとなる領域でさえも、量子力学的位相に寄与することを示している。
• ハミルトニアンは、幾何学的枠組み内で一貫して量子化され、シンプレクティック構造およびバンドル構造が保存される。
• 本手法は、Mackey と Isham の先行研究を完全に統合・明確化し、それらの構成を幾何学的量子化の枠組み内での特別な場合として示している。
• Marsden-Weinstein の構成による位相空間還元は、系の古典的および量子的力学に厳密な幾何学的基盤を提供する。