[論文レビュー] Geometric Representations of Whitney Forms and their Generalization to Minkowski Spacetime

Joe Salamon, John Atwell Moody+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ベクトルおよびコベクトル表現を用いた、ホイットニー形式の2つの同等の幾何的表現を導入し、ミンコフスキー時空を含む平坦な擬リーマン多様体へのバーチャル座標の一般化を実現する。主な貢献は、ホイットニー形式およびそのホッジ双対の座標に依存しない幾何的直感的な特徴付けであり、これにより、時空FEECおよび多シンプレクティック汎関数的統合を用いた古典電磁気学の完全共変な時空有限要素離散化が可能になる。

ABSTRACT

In this work, we present two alternative yet equivalent representation formulae for Whitney forms that are valid for any choice of coordinates, and generalizes the original characterization of Whitney forms in Whitney (1957) that requires the use of barycentric coordinates. In addition, we demonstrate that these formulae appropriately generalize the notion of Whitney forms and barycentric coordinates to Minkowski spacetime, and naturally to any other flat pseudo-Riemannian manifold. These alternate forms are related to each other through a duality between the exterior algebras on vectors and covectors. In addition, these two formulae have a geometrically intuitive interpretation which provide interesting insights into their structure. Furthermore, we obtain an explicit characterization of the Hodge dual of the space of Whitney forms on Minkowski spacetime, and this opens the door to treating the theory of classical electromagnetism in a fully covariant fashion through the combination of multisymplectic variational integration and spacetime finite-element exterior calculus (FEEC) techniques. We conclude the paper with the results from an $\mathbb{R}^{1+1}$ wave equation simulation, as a proof-of-concept of the spacetime formulation described herein.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間を超えて平坦な擬リーマン多様体、特にミンコフスキー時空へのホイットニー形式の一般化を図ること。
• ベクトルおよびコベクトルにおける外微分代数を用いた、座標に依存しない幾何的直感的なホイットニー形式の表現を提供すること。
• ミンコフスキー時空におけるホイットニー形式のホッジ双対の明示的特徴付けを確立すること。
• ハミルトニアン場理論の完全共変な時空有限要素外微分外積計算（FEEC）フレームワークを可能にすること。
• 1+1次元波動方程式のシミュレーションを通じて、時空FEECと多シンプレクティック汎関数的統合の実現可能性を示すこと。

提案手法

• 計量双対性を用いた、ベクトルベースの微分形式とコベクトルベースの表現の2つの同等なホイットニー形式の定式化を導出する。
• ホッジスター作用素および計量誘導型同型写像を用いて、ベクトルとコベクトル表現の関係を定式化する。
• 平行移動不変性およびパラメータ化技術を用いて、ホイットニー形式の正規化および次数条件の妥当性を検証する。
• 外微分代数構造（ウェッジ積、縮約、余微分など）を用いて、単体上での形式の定義および操作を定義する。
• 単体の頂点から導かれるコベクトル場のウェッジ積のホッジスターを含む一般化されたホイットニー形式の公式を導入する。
• 帰納法および0-および1-形式における明示的計算を通じて、定式化の妥当性を検証し、バーチャル座標ホイットニー形式と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホイットニー形式は、バーチャル座標を超えて、ミンコフスキー時空を含む任意の平坦な擬リーマン多様体へどのように一般化できるか？
• RQ2 ベクトルベースとコベクトルベースのホイットニー形式表現の間の幾何的および代数的関係は何か？
• RQ3 ミンコフスキー時空におけるホイットニー形式のホッジ双対は、どのように明示的に特徴付けられるか？
• RQ4 提案された定式化は、完全共変な時空有限要素外微分外積計算（FEEC）フレームワークを支えることができるか？
• RQ5 物理的場理論のシミュレーションにおける、時空FEEC定式化の性能および一貫性はいかがなものか？

主な発見

• 本稿では、任意の平坦な擬リーマン多様体で有効な2つの同等の幾何的表現（ベクトルおよびコベクトル）を用いたホイットニー形式の定式化を確立した。
• ベクトルベースの定式化は、ホッジスターおよび計量双対を用いて、ミンコフスキー時空におけるバーチャル座標の一般化を実現する。
• ミンコフスリー時空におけるホイットニー形式のホッジ双対は、体積形式および計量誘導型同型写像を用いて明示的に特徴付けられる。
• パラメータ化および内積恒等式を用いた検証により、正規化条件 ∫ρ w_j = 1 が0-および1-形式に対して厳密に確認された。
• 1+1次元波動方程式のシミュレーションにより、多シンプレクティック汎関数的統合を用いた時空FEEC定式化の一貫性および実現可能性が確認された。
• 導出された定式化は、一般座標系下でもホイットニー形式の主な性質（次数、台、境界挙動）を保持している。