[論文レビュー] Geometric spin foams, Yang-Mills theory and background-independent models

Florian Conrady|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 27被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、格子規格場理論および量子重力におけるスピンフォーム模型の幾何的再定式化を提案し、格子に依存しない抽象的スピンフォームの和を導入する。スピンフォームを面積指数因子で重み付けされた分岐表面として特定することで、背景独立性を達成し、バーレット＝クライン模型がそのような再定式化に必要な対称性条件を満たしていることを示している。

ABSTRACT

We review the dual transformation from pure lattice gauge theory to spin foam models with an emphasis on a geometric viewpoint. This allows us to give a simple dual formulation of SU(N) Yang-Mills theory, where spin foam surfaces are weighted with the exponentiated area. In the case of gravity, we introduce a symmetry condition which demands that the amplitude of an individual spin foam depends only on its geometric properties and not on the lattice on which it is defined. For models that have this property, we define a new sum over abstract spin foams that is independent of any choice of lattice or triangulation. We show that a version of the Barrett-Crane model satisfies our symmetry requirement.

研究の動機と目的

• スピンフォームを格子依存の図式ではなく、格子に埋め込まれた分岐表面としての幾何的視点を確立すること。
• SU(N)ヤン・ミルズ理論の双対的記述を導出し、分岐のないスピンフォーム成分を面積Aと表現依存の張力Tρによるexp(−TρA)で重み付けること。
• 格子分割に依存しないスピンフォーム量子重力における背景依存性問題を、表面と分岐線の幾何的・位相的性質にのみ依存する振幅となる対称性条件を導入することで解決すること。
• 位相同相写像による同値類としての抽象的スピンフォーム（格子依存性を除いた和）を定義し、格子依存性と重複カウントを排除すること。
• バーレット＝クライン模型のバージョンが提案された対称性条件を満たしていることを検証し、背景独立な枠組みでの利用を可能にすること。

提案手法

• プレートルにキャラクター展開と群積分を適用し、スピンフォーム経路積分を再定式化することで、プレートルが分岐のない表面にグループ化される双対的記述を得る。
• 分岐部分と分岐線にラベルが付与された、位相的・幾何的不変性を強調する分岐表面としてのスピンフォームを定義する。
• 対称性条件を導入：スピンフォーム振幅は表面および分岐線の分割に依存してはならない。これにより、格子トライアングレーションに依存しない独立性が保証される。
• 位相同相写像による同値な配置を商集合として取り除くことで、抽象的スピンフォーム（同値類）に関する新しい和を構築し、背景独立性を達成する。
• バーレット＝クライン模型の頂点振幅（BCインターウィナ）と面因子を用い、振幅が分岐表面の位相的・組合せ的性質にのみ依存することを検証する。
• ヤン・ミルズ理論に幾何的スピンフォーム形式を適用し、各分岐のない成分が面積Aと張力パラメータTρによるexp(−TρA)で重み付けされることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純粋な格子規格場理論は、基礎となる格子に依存しない幾何的スピンフォームの和として再定式化可能か？
• RQ2 スピンフォーム振幅が分岐表面の幾何的・位相的性質にのみ依存し、格子離散化に依存しないように保証する対称性条件は何か？
• RQ3 固定された格子やトライアングレーションに依存しない背景独立なスピンフォーム模型は、どのように構築できるか？
• RQ4 バーレット＝クライン模型は、提示された幾何的対称性条件を満たしているか？ これにより、格子独立な記述が可能になるか？
• RQ5 ヤン・ミルズ理論の双対的記述は、面積依存の重みを持つ幾何的スピンフォームモデルとして表現可能か？

主な発見

• SU(N)ヤン・ミルズ理論の双対的記述が得られ、各分岐のないスピンフォーム成分は面積Aと表現依存の張力Tρによるexp(−TρA)で重み付けられている。
• バランスの取れた表現ρ^balを持つスピンフォーム成分の振幅は、(dim Vρ^bal)^χ(Fi) に等しくなる。ここでχ(Fi)は表面成分のオイラー標数である。
• 振幅が分岐表面の位相的・幾何的性質にのみ依存し、格子分割に依存しないという対称性条件は、バーレット＝クライン模型によって満たされている。
• スピンフォームの和は、位相同相写像による同値類（抽象的スピンフォーム）に関する和に再定義可能であり、格子依存性と重複カウントが排除される。
• 2価のBCインターウィナの閉じた線に沿った縮約は、各辺あたり (dim Vj)^−2 の因子をもたらし、頂点および面の寄与が組み合わさって、各分岐のない成分に対して (dim Vρ^bal)^χ(Fi) を得る。
• 幾何的記述により、振幅が分岐表面の位相同相写像に対して不変であることが確認され、格子独立な手法の妥当性が裏付けられた。