[論文レビュー] Geometric Spinors, Generalized Dirac Equation and Mirror Particles

Matej Pavšič|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Clifford代数 $Cl(1,3)$ における幾何的スピンラーが、一般化されたDirac方程式を介して通常粒子とミラー粒子を統一的に記述するフレームワークを提案する。$\Phi \to \mathrm{R}\Phi\mathrm{S}$ におけるClifford数の変換を分析することで、異なる最小左イデアルに属するスピンラーがそれぞれ異なる粒子種に相当することを示し、一般化されたDirac方程式（Dirac-Kähler方程式）が自然に通常粒子とミラーフェルミオンの両方を含む。これにより、パリティの保存が成り立たない現象とダークマター候補の代数的説明が得られる。

ABSTRACT

It is shown that since the geometric spinors are elements of Clifford algebras, they must have the same transformation properties as any other Clifford number. In general, a Clifford number $Φ$ transforms into a new Clifford number $Φ'$ according to $Φ o Φ' = { m{R}}\,Φ\,{ m{S}}$, i.e., by the multiplication from the left and from the right by two Clifford numbers ${ m R}$ and ${ m S}$. We study the case of $Cl(1,3)$, which is the Clifford algebra of the Minkowski spacetime. Depending on choice of ${ m R}$ and ${ m S}$, there are various possibilities, including the transformations of vectors into 3-vectors, and the transformations of the spinors of one minimal left ideal of $Cl(1,3)$ into another minimal left ideal. This, among others, has implications for understanding the observed non-conservation of parity.

研究の動機と目的

• Clifford代数 $Cl(1,3)$ を用いて、通常粒子とミラーフェルミオンを1つの代数的枠組みで統一すること。
• 異なる最小左イデアルにおけるスピンラーの変換を通じて、弱い相互作用におけるパリティの保存が成り立たないことの説明をすること。
• 一般化されたDirac方程式（Dirac-Kähler方程式）が、単一のClifford値場の成分として、通常粒子とミラー粒子の両方を自然に記述することを示すこと。
• 異なるイデアル上で作用する $SU(2)$ ゲージ対称性を、通常粒子とミラー粒子の弱い相互作用に対応させること。
• 幾何的スピンラーを用いて、ミラー粒子をダークマター候補として代数的基盤を提供すること。

提案手法

• スピンラーを $Cl(1,3)$ の要素として表現し、零指数生成子とWitt基底 $\theta_a, \bar{\theta}_a$ を用いて4成分スピンラーを構成する。
• $\mathrm{R}, \mathrm{S} \in Cl(1,3)$ を用いた変換 $\Phi \to \mathrm{R}\Phi\mathrm{S}$ を適用し、異なる最小左イデアルに属するスピンラーがどのように互いに変換されるかを調べる。
• $\Phi = \psi^{\tilde{A}}\xi_{\tilde{A}}$ なる $Cl(1,3)$-値場に対して、一般化されたDirac方程式 $(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\Phi = 0$ を導出する。ここで $\tilde{A} = (\alpha, i)$ は4つの最小左イデアルにわたる成分をラベルする。
• $16 \times 16$ 行列表現を $4 \times 4$ Dirac行列に分解し、計量 $z_{ij}$ を用いて通常粒子とミラー粒子のセクターに作用を分離する。
• ゲージ共変な作用 $I = \int d^4x\, \bar{\psi}^i (i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi^j z_{ij}$ を構築する。ここで $D_\mu = \partial_\mu + G_\mu{}^i{}_j \psi^j$ は一般化されたゲージ場を導入する。
• $\psi^{\alpha i}$ の1列目と2列目を通常粒子とし、3列目と4列目をミラー粒子とする。$SU(2)$ ゲージ対称性はそれぞれのペアに対して独立に作用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Clifford代数 $Cl(1,3)$ における幾何的スピンラーは、一般のClifford代数作用素に対してどのように変換され、その変換が粒子状態にどのような意味を持つのか？
• RQ2 Clifford代数 $Cl(1,3)$ における一般化されたDirac方程式は、単一の場の成分として、通常粒子とミラーフェルミオンの両方を自然に記述できるか？
• RQ3 Clifford代数の代数的構造は、弱い相互作用におけるパリティの保存が成り立たないことの説明にどのように寄与するか？
• RQ4 Clifford代数 $Cl(1,3)$ の4つの最小左イデアルが、通常粒子とミラー粒子を区別する上で果たす役割は何か？
• RQ5 異なるイデアル上で $SU(2)$ 対称性を有する統一ゲージ場理論を、通常粒子とミラー粒子の両方の弱い相互作用を含む形で構築できるか？

主な発見

• 変換 $\Phi \to \mathrm{R}\Phi\mathrm{S}$ において $\mathrm{R} = \exp(\frac{1}{2}\alpha\gamma_1\gamma_2)$, $\mathrm{S} = \exp(\frac{1}{2}\beta\gamma_1\gamma_2)$ とすると、階数が混合され、1つの最小左イデアルに属するスピンラーが別のイデアルに写される。これにより、通常状態とミラー状態の間の遷移が可能になる。
• $\psi^{\alpha i}$ の行列において、1番目と2番目の最小左イデアルに属するスピンラーは通常粒子に対応し、3番目と4番目のイデアルに属するスピンラーはミラー粒子に対応する。
• 一般化されたDirac方程式 $(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\Phi = 0$ は $16 \times 16$ 行列方程式に帰着され、4つの独立した $4 \times 4$ Dirac方程式に分解され、それぞれが異なるイデアルに属するスピンラーを記述する。
• 作用 $I = \int d^4x\, \bar{\psi}^i (i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi^j z_{ij}$ の計量 $z_{ij}$ は符号 $(+, +, -, -)$ を持ち、通常粒子とミラー粒子のセクターを区別する。
• ゲージ場 $G_\mu{}^i{}_j$ には2つの $SU(2)$-類似群が含まれる。1つは1番目と2番目のイデアルに作用（通常の弱い相互作用）、もう1つは3番目と4番目のイデアルに作用（ミラーの弱い相互作用）する。これらは空間反転と関連している。
• このモデルは、ミラー粒子がダークマター候補であるという代数的説明を提供する。$G_\mu{}^i{}_j$ が適切に変換されるとき、全作用は空間反転に対して対称性を保つ。