[論文レビュー] Geometric structures on G2 and Spin(7)-manifolds

Jae-Hyouk Lee, Naichung Conan Leung|ArXiv.org|Feb 6, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、G₂-およびSpin(7)-多様体のモジュライ空間における自然な対称な立方テンソルおよび微分形式を導入し、それらをM理論におけるYukawa結合項および相関関数として解釈する。同定は、(co-)可換なファイブレーションに沿ったフーリエ変換を用いてG₂-多様体に対するミラー対称性の類似を確立し、変形されたDonaldson-Thomasバンドルと計量的サブ多様体との間の重要な関係を示し、サイクルのモジュライ空間に標準形式を定義する。

ABSTRACT

This article studies the geometry of moduli spaces of G2-manifolds, associative cycles, coassociative cycles and deformed Donaldson-Thomas bundles. We introduce natural symmetric cubic tensors and differential forms on these moduli spaces. They correspond to Yukawa couplings and correlation functions in M-theory. We expect that the Yukawa coupling characterizes (co-)associative fibrations on these manifolds. We discuss the Fourier transformation along such fibrations and the analog of the Strominger-Yau-Zaslow mirror conjecture for G2-manifolds. We also discuss similar structures and transformations for Spin(7)-manifolds.

研究の動機と目的

• G₂-およびSpin(7)-多様体のモジュライ空間における幾何的構造を、M理論の compactification に動機づけて研究すること。
• 対称な立方テンソルおよびモジュライ空間上の微分形式を用いて、M理論におけるYukawa結合項および相関関数の類似を定義すること。
• Strominger-Yau-Zaslowのミラー対称性予想を、(co-)可換なファイブレーションに沿ったフーリエ変換を用いてG₂-多様体へ拡張すること。
• 提案された立方テンソルおよび微分形式を用いて、G₂-およびSpin(7)-多様体上のファイブレーション構造を特徴付けること。
• Spin(7)-幾何学の文脈において、変形されたDonaldson-ThomasバンドルおよびCayleyサイクルを定義し、それらを分析すること。

提案手法

• G₂計量のモジュライ空間上で、積分を用いて立方Yukawa結合項を提案：$\mathcal{Y}_M(\phi) = \int_M \Omega(\hat{\phi},\hat{\phi},\hat{\phi}) \wedge \ast\Omega$（$\phi \in H^3(M,\mathbb{R})$ に対して）。
• 自己双対な2形式上のクリフォード乗法およびリー代数構造を用いて、共可換および可換サイクルのモジュライ空間上に標準的な3形式および4形式を構成する。
• 変形されたDonaldson-Thomas接続を、$F \wedge \ast\Omega + F^3/6 = 0$ を満たすように定義し、そのモジュライ空間形式を$\int_M \operatorname{Tr}[e^{\ast\Omega + \tilde{F}}]$ を用いて導出する。
• Spin(7)-多様体に対して、$\Theta_Z$ および曲率形式を用いて、$H^4(Z,\mathbb{R})$ 上に対称な四次テンソル$\mathcal{Q}$ を定義し、$H_{35}^4(Z,\mathbb{R})$ 上への制限によってYukawa結合項を得る。
• Spin(7)-多様体上の変形されたDTバンドルのモジュライ空間上に、$\int_Z \operatorname{Tr}[\alpha \wedge \beta \wedge \gamma \wedge \delta]_{\text{skew}} \wedge e^{\Theta_Z + F_E}$ を用いて4形式を定義する。
• 平坦なSpin(7)-多様体上のCayley $T^4$-ファイブレーションに沿ったフーリエ変換を提案し、Cayleyサイクルのモジュライを双対トーラス上の変形されたDTバンドルのモジュライに写像する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau三様体からのYukawa結合項は、どのようにG₂-およびSpin(7)-多様体へ一般化できるか？
• RQ2 G₂-多様体における(co-)可換なサイクルのモジュライ空間に、自然に生じる微分幾何的構造は何か？
• RQ3 ファイブレーションおよびフーリエ変換を用いて、Strominger-Yau-Zaslowのミラー対称性予想は、どのようにG₂-多様体へ拡張できるか？
• RQ4 変形されたDonaldson-Thomasバンドルは、G₂-およびSpin(7)-多様体の幾何学において果たす役割は何か？
• RQ5 Spin(7)-多様体におけるCayleyサイクルおよびそのモジュライ空間は、変形されたDTバンドルおよび双対性とどのように関係するか？

主な発見

• 提案されたYukawa結合項$\mathcal{Y}_M(\phi) = \int_M \Omega(\hat{\phi},\hat{\phi},\hat{\phi}) \wedge \ast\Omega$ は、例外的リー代数$E_6$のジョルダン代数に由来し、G₂計量のモジュライ空間に自然な立方構造を与える。
• 共可換サイクルのモジュライ空間$\mathcal{M}^{coa}(M)$ には、標準的な3形式$\Omega_{\mathcal{M}^{coa}}$ および対称な立方テンソルが存在し、平坦な場合には$G_2$-構造を反映する。
• G₂-多様体上の変形されたDonaldson-Thomas接続は$F \wedge \ast\Omega + F^3/6 = 0$ を満たし、そのモジュライ空間$\mathcal{M}^{bdl}(M)$ には$\int_M \operatorname{Tr}[e^{\ast\Omega + \tilde{F}}]$ から導かれる自然な4形式が存在する。
• Spin(7)-多様体に対して、$H^4(Z,\mathbb{R})$ 上に対称な四次テンソル$\mathcal{Q}$ が定義され、$H_{35}^4(Z,\mathbb{R})$ 上への制限によってYukawa結合項が得られ、$G_2$-の場合の一般化となる。
• Spin(7)-多様体$Z$ におけるCayleyサイクルのモジュライ空間$\mathcal{M}^{Cay}(Z)$ には、曲率および調和スピン接続の積分を含む自然な4形式$\Theta_{\mathcal{M}^{Cay}}$ が存在する。
• 平坦なSpin(7)-多様体上のCayley $T^4$-ファイブレーションに沿ったフーリエ変換は、Cayleyサイクルのモジュライを双対トーラス上の変形されたDTバンドルのモジュライに写像し、$G_2$-の場合の双対性を一般化する。