[論文レビュー] Geometric syntomic cohomology and vector bundles on the Fargues-Fontaine curve

Wiesława Nizioł|arXiv (Cornell University)|May 23, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、代数的閉体 $\overline{K}$ 上の多様体の幾何的シントミックコホモロジーが、バナッハ＝コロンブス空間の圏へ自然に持ち上がることを確立し、非通常の場合により豊かな $p$-進ホッジ理論的情報を含む新しい剛体的構造を明らかにする。このコホモロジーが、$\overline{K}$ 上の有効なフィルトレーション付き $\varphi$-加群の圏における $\operatorname{Ext}$ 群を計算することを証明し、非通常設定では非自明な $C$-ランクを有する有限次元バナッハ＝コロンブス空間であることが示され、楕円曲線の対称平方がその例として挙げられる。

ABSTRACT

We show that geometric syntomic cohomology lifts canonically to the category of Banach-Colmez spaces and study its relation to extensions of modifications of vector bundles on the Fargues-Fontaine curve. We include some computations of geometric syntomic cohomology Spaces: they are finite rank $Q_p$-vector spaces for ordinary varieties, but in the nonordinary case, these cohomology Spaces carry much more information, in particular they can have a non-trivial $C$-rank. This dichotomy is reminiscent of the Hodge-Tate period map for $p$-divisible groups.

研究の動機と目的

• 幾何的シントミックコホモロジーがバナッハ＝コロンブス空間の圏へ自然に持ち上がることを確立すること。
• 幾何的シントミックコホモロジーとファルガス＝フォンタインの曲線上のベクトル束の変形の拡張との関係を明確にすること。
• 幾何的シントミックコホモロジーが絶対的 $p$-進ホッジコホモロジーであり、$\overline{K}$ 上の有効なフィルトレーション付き $\varphi$-加群の圏における $\operatorname{Ext}$ 群として計算可能であることを示すこと。
• 幾何的シントミックコホモロジー群の構造を分析し、特にそれらがバナッハ＝コロンブス空間としての次元を、通常と非通常の場合に分けて調べること。

提案手法

• 幾何的クリスタルコホモロジーのフィルトレーション付きフロベニウス固有空間として幾何的シントミックコホモロジーを定義する：$\mathrm{R}\Gamma_{\operatorname{syn}}(\mathcal{X}_{\mathcal{O}_{\overline{K}}},r) = [\mathrm{R}\Gamma_{\operatorname{cr}}(\mathcal{X}_{\mathcal{O}_{\overline{K}}})^{\varphi=p^r} \to \mathrm{R}\Gamma_{\operatorname{cr}}(\mathcal{X}_{\mathcal{O}_{\overline{K}}})/F^r]$。
• この複体が自然に有限次元バナッハ＝コロンブス空間の複体へ持ち上がることを示し、幾何的シントミックコホモロジーに剛体的 $p$-進構造を与える。
• 幾何的 $p$-進ホッジ複体の理論とベイリノスンの基本補題を用いて、シントミックコホモロジーを $\overline{K}$ 上の有効なフィルトレーション付き $\varphi$-加群の圏における $\operatorname{Ext}$ 群と関係づける。
• 複体 $C(X_{\overline{K}})$ 及びその部分複体 $C^+(X_{\overline{K}})$ を含む区別された三角形を構成し、商のガロアコホモロジーの正則性を証明することで、主要な比較定理を確立する。
• 幾何的シントミックコホモロジー群の $C$-ランクを分析し、de Rham およびハイドー＝カトウコホモロジーの構造を用いて、非通常の場合に非ゼロであることを示す。
• 通常の多様体、曲線、楕円曲線の積について明示的な計算を行い、$H^0_+(\cdot)$ およびトレース写像を計算することで、非自明な $C$-ランクを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的シントミックコホモロジーは、ファルガス＝フォンタインの曲線上のベクトル束の変形の拡張とどのように関係しているか？
• RQ2 幾何的シントミックコホモロジーがバナッハ＝コロンブス空間としての正確な構造は何か？ 通常と非通常の多様体ではどのように異なるか？
• RQ3 幾何的シントミックコホモロジーはバナッハ＝コロンブス空間の圏へ自然に持ち上がることができるか？ そのことは、その $p$-進ホッジ理論的性質にどのような含意を持つのか？
• RQ4 $C$-ランクの幾何的シントミックコホモロジーにおける役割は何か？ そして非通常の振る舞いを検出するためにどのように機能するか？
• RQ5 楕円曲線の対称平方の幾何的シントミックコホモロジーは、通常の場合と比べてどのようにより豊かな構造を示すか？

主な発見

• 幾何的シントミックコホモロジーはバナッハ＝コロンブス空間の圏へ自然に持ち上がり、古典的設定にはない剛体的 $p$-進構造を与える。
• 通常の多様体では、幾何的シントミックコホモロジー群は有限次元 $\mathbf{Q}_p$-ベクトル空間、すなわち次元 $(0,h)$ のバナッハ＝コロンブス空間である。
• 非通常の場合、幾何的シントミックコホモロジー群は非自明な $C$-ランクを有する可能性があり、次元 $(d,h)$ で $d \geq 1$ となる。これは追加の $p$-進ホッジ理論的情報を符号化する。
• コホモロジー群は $\overline{K}$ 上の有効なフィルトレーション付き $\varphi$-加群の圏における $\operatorname{Ext}$ 群と同型であり、幾何的シントミックコホモロジーが絶対的 $p$-進ホッジコホモロジーであることを確立する。
• 明示的計算により、楕円曲線の対称平方に対して $H^0_+$ 群が非自明な $C$-ランクを有することを示し、非通常現象の存在を裏付ける。
• 複体 $B(\mathrm{R}\Gamma^B_{\operatorname{dR}}(X_{\overline{K}}))$ のガロアコホモロジーは正則である。これは主な比較結果およびシントミック周期写像の構成に不可欠である。