[論文レビュー] Geometric theta-lifting for the dual pair GSp_{2n}, GSO_{2m}

Sergey Lysenko|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は特徴標数 >2 の滑らかな射影的曲線上における (GSp_{2n}, GSO_{2m}) の双対対について、Langlands 関手性の幾何的実現を確立し、Arthur の SL₂ を含む L 群の準同型を通じて、幾何的トーティック・リフト関手がヘッケ関手と可換であることを示している。主な結果は、特定の内包的局所系に対して Bun_{GSp_4} 上に自動的ヘッケ固有層を構成し、幾何的 Langlands 対応の特別なケースを実現することである。

ABSTRACT

Let X be a smooth projective curve over an algebraically closed field of characteristic >2. Consider the dual pair H=GSO_{2m}, G=GSp_{2n} over X, where H splits over an etale two-sheeted covering of X. Write Bun_G and Bun_H for the stacks of G-torsors and H-torsors on X. We show that for m\le n (respectively, for m>n) the theta-lifting functor from D(Bun_H) to D(Bun_G) (respectively, from D(Bun_G) to D(Bun_H)) commutes with Hecke functors with respect to a morphism of the corresponding L-groups involving the SL_2 of Arthur. So, they realize the geometric Langlands functoriality for the corresponding morphisms of L-groups. As an application, we prove a particular case of the geometric Langlands conjectures for GSp_4. Namely, we construct the automorphic Hecke eigensheaves on Bun_{GSp_4} corresponding to the endoscopic local systems on X.

研究の動機と目的

• 曲線のエタール二重被覆上で分岐するシミリチュード群 GSp_{2n} および GSO_{2m} に対する幾何的 Langlands プログラムの拡張。
• Arthur の SL₂ を含む L 群の準同型を通じて、幾何的トーティック・リフト関手がヘッケ関手と可換であることを確立すること。
• 内包的局所系に対して Bun_{GSp_4} 上に自動的ヘッケ固有層を構成し、幾何的 Langlands 猜定の特別なケースを実現すること。

提案手法

• G- torsor のモジュライスタック上の ℓ-adic 層の導来圏 D(Bun_H) と D(Bun_G) の間の幾何的トーティック・リフト関手 F_G: D(Bun_H) → D(Bun_G) および F_H: D(Bun_G) → D(Bun_H) を定義する。
• 非分岐設定において、メタプレクティック・ウェイル表現およびトーティック関数型の枠組みを用いて、リフト関手を定義する。
• m ≤ n の場合に H^L × G_m → G^L または m > n の場合に G^L × G_m → H^L という L 群の準同型を構成し、ヘッケ適合性を支配する。
• ヘッケ関手およびそれらが D(Bun_G) と D(Bun_H) 上に作用する理論を用い、L 群の準同型を通じて適合性を示す。
• 層の空間上の群ガロアの作用およびヘッケ代数上の階付き加群の構造を用いて、主要定理を証明する。
• 写像 f^{κ_G} における不変量に関するキーレムマを適用し、ある部分加群が全ヘッケ代数に一致することを示し、固有層性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対対 (GSp_{2n}, GSO_{2m}) に対する幾何的トーティック・リフト関手は、適切な L 群の準同型のもとでヘッケ関手と可換か？
• RQ2 基底曲線上で分岐せず、エタール二重被覆上で分岐するシミリチュード群に対して、幾何的 Langlands 関手性はどのように実現されるか？
• RQ3 内包的局所系に対して、幾何的トーティック・リフトを通じて Bun_{GSp_4} 上に自動的ヘッケ固有層を構成できるか？
• RQ4 ヘッケ適合性を支配する L 群の準同型における Arthur の SL₂ の役割は何か？
• RQ5 ヘッケ代数の階付き構造および群ガロア T の作用は、固有層性にどのように関与するか？

主な発見

• m ≤ n の場合、関手 F_G: D(Bun_H) → D(Bun_G) は Arthur の SL₂ を含む H^L × G_m → G^L の準同型を通じてヘッケ関手と可換である。
• m > n の場合、関手 F_H: D(Bun_G) → D(Bun_H) は G^L × G_m → H^L を通じてヘッケ関手と可換であり、両方向の関手性を確立する。
• n = m の場合、L 群の準同型は G_m 因子上で自明になり、対応が単純化される。
• 構成により、特定の内包的局所系に対して Bun_{GSp_4} 上に自動的ヘッケ固有層が得られ、幾何的 Langlands 猜定の特別なケースが実現される。
• 証明は、ヘッケ代数 H_{Q(G)} の階付き部分加群 W が 0 次成分 H_G を含むならば H_G に一致することを示すキーレムマに依存する。
• ヘッケ作用の適合性は、層の空間上の群ガロア作用と、L 群の準同型におけるウェイル表現の不変性の相互作用によって確立される。