[論文レビュー] Geometrical and measure-theoretic structures of maps with mostly expanding center

Jiagang Yang|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 39被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ほとんど拡張する中心を持つ $C^{1+α}$ 部分的双曲的微分同相写像に対して、物理的測度の個数、分岐域、および台を決定する幾何的・組合せ的構造「スケルトン」を確立する。 Hölder連続関数に対する相関関数の指数的減衰を証明し、近傍における $C^1$ 偶数集合の一部で、有限個の物理的測度が存在し、それらの全レブゴン・メジャー分岐域を持つことを示す。

ABSTRACT

In this paper we study physical measures for $\C^{1+α}$ partially hyperbolic diffeomorphisms with mostly expanding center. We show that every diffeomorphism with mostly expanding center direction exhibits a geometrical-combinatorial structure, which we call skeleton, that determines the number, basins and supports of the physical measures. Furthermore, the skeleton allows us to describe how physical measures bifurcate as the diffeomorphism changes under $C^1$ topology. Moreover, for each diffeomorphism with mostly expanding center, there exists a $C^1$ neighborhood, such that diffeomorphism among a $C^1$ residual subset of this neighborhood admits finitely many physical measures, whose basins have full volume. We also show that the physical measures for diffeomorphisms with mostly expanding center satisfy exponentially decay of correlation for any Hölder observes.

研究の動機と目的

• ほとんど拡張する中心を持つ $C^{1+α}$ 部分的双曲的微分同相写像の物理的測度の幾何的・測度論的構造を理解すること。
• 物理的測度の個数、分岐域、および台を、新たに導入された幾何的・組合せ的対象「スケルトン」として特徴付けること。
• スケルトンを用いて、$C^1$ パerturbation における物理的測度の分岐を分析すること。
• このような系において、指数的減衰を含む強力な統計的性質を確立すること。
• 近傍における $C^1$ 偶数集合で、有限個の物理的測度が存在し、それらの全体積分岐域を持つことを証明すること。

提案手法

• 物理的測度の力学を符号化する有限で不変な組合せ的構造として「スケルトン」を導入する。
• Gibbs-Markov-Young 構造を用いて、系の統計的性質を分析する。
• 相関関数の減衰を制御するため、中心-不安定方向における非一様拡張性（b-NUE）の概念を適用する。
• 不安定プレート上での体積推定を用いて、双曲的時刻の尾部を抑え、特に $\operatorname{vol}_D(\mathcal{E}_b > n) = O(e^{-cn})$ を得る。
• 結果 [5] および [23] を適用し、尾部減衰推定から相関関数の指数的減衰を導出する。
• 不安定foliationの絶対連続性を用いて、プレートからの体積推定を局所的不安定多様体へと移す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほとんど拡張する中心を持つ微分同相写像に対して、物理的測度の個数、分岐域、および台を体系的に決定する方法は何か？
• RQ2 スケルトンは、物理的測度の組織化および $C^1$ パerturbation における分岐に果たす役割は何か？
• RQ3 このような系の物理的測度は、指数的減衰を含む強力な統計的性質を示すか？
• RQ4 偶数 $C^1$ 部分集合で、有限個の物理的測度が存在し、それらの全レーベグ測度分岐域を持つことを保証できるか？
• RQ5 このクラスの系における Hölder 連続関数に対する相関関数の減衰速度は何か？

主な発見

• スケルトンは、ほとんど拡張する中心を持つ $C^{1+α}$ 微分同相写像の物理的測度の個数、分岐域、および台を一意に決定する。
• すべてのこのような微分同相写像に対して、$C^1$ 近傍内に、偶数集合が存在し、その中で有限個の物理的測度が存在し、それぞれが全体積分岐域を持つ。
• これらの系の物理的測度は指数的減衰を示す： Hölder 連続関数 $\phi$ および $\psi \in L^\infty$ に対して $C_\mu(\phi, \psi \circ f^n) = O(e^{-dn})$。
• 減衰率は、双曲的時刻の尾部の挙動と関連しており、$\operatorname{vol}_D(\mathcal{E}_{b_0} > n) = O(e^{-\delta' n})$ であるため、パワー則減衰推定における $\tau = 1$ が成り立つ。
• $C^2$、到達可能で体積を保存する微分同相写像で中心リャプノフ指数が消えない場合、体積測度はベルヌーイ的である。
• 物理的測度は、不安定多様体の正測度部分集合の繰り返し像の体積の平均の弱*極限として得られる。