[論文レビュー] Geometrical McKay Correspondence for Isolated Singularities

Anda Degeratu|ArXiv.org|Feb 6, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{C}^3/G$ の三様孤立特異点に対して、$G$-Hilbert 書上の両立的解体 $\pi: X \to \mathbb{C}^3/G$ における一貫的層のグローテンディーク群が、$G$ の表現環に同型であることを示し、コhomology 環がチャーン類ペアリングを通じて記述される双対基底構造と、オイラー特徴関数ペアリングと整合する修正された表現基底を備えることで、3次元の幾何的 McKay 対応を確立する。

ABSTRACT

A Calabi-Yau orbifold is locally modeled on C^n/G where G is a finite subgroup of SL(n, C). In dimension n=3 a crepant resolution is given by Nakamura's G-Hilbert scheme. This crepant resolution has a description as a GIT/symplectic quotient. We use tools from global analysis to give a geometrical generalization of the McKay Correspondence to this case.

研究の動機と目的

• 表面特異点 ($\mathbb{C}^2/G$) の古典的 McKay 対応を、$SL(3,\mathbb{C})$ の有限部分群 $G$ に対する三様 ($\mathbb{C}^3/G$) に、両立的解体を用いて拡張すること。
• 有限部分群 $G \subset SL(3,\mathbb{C})$ に対する $\mathbb{C}^3/G$ の両立的解体のコhomology 的および $K$-理論的構造を理解すること。
• 解体の $K$-理論と $G$ の表現環との間に、オイラーペアリングと整合する双対性を確立すること。
• $G$-Hilbert 書上の $K(X)$ における基底を、フーリエ＝ムカイ変換と表現論的修正を用いて $K_c(X)$ の基底と双対化すること。

提案手法

• Nakamura の $G$-Hilbert 書を、$\pi: X \to \mathbb{C}^3/G$ として両立的解体として用いる。
• フーリエ＝ムカイ変換 $\Phi: K(X) \to K^G(\mathbb{C}^3)$ を適用し、層 $\mathcal{R}_k$ を $R_k \otimes \mathcal{O}_{\mathbb{C}^3}$ に写像し、$\Phi_c: K_c(X) \to K_c^G(\mathbb{C}^3)$ を用いて $\mathcal{S}_k$ を $R_k \otimes \mathcal{O}_0$ に写像する。
• $K_c(X)$ の基底と双対を保つために、$R(G)$ 内の修正基底 $\{R_k - \dim(R_k) R_0\}$ を導入する。
• チャーン類ペアリング $\langle \mathrm{ch}_c(\mathcal{S}_k), \mathrm{ch}(\mathcal{R}_l) \rangle = \int_X \mathrm{ch}_c(\mathcal{S}_k) \cup \mathrm{ch}(\mathcal{R}_l) \hat{A}(X)$ を用い、$K$-理論とコhomology を関連付ける。
• $\lambda = -Q + \Lambda^2 Q$ による乗法作用により誘導される $\kappa: R(G) \to R(G)$ の同型を用い、行列表現 $\kappa = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & C \end{bmatrix}$ を得る。
• 修正された $K(X)$ の基底が、$\{\mathcal{S}_k\}$ と双対を保ち、ペアリング構造を維持することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $K$-理論およびコhomology の観点から、$\mathbb{C}^2/G$ から $\mathbb{C}^3/G$ への McKay 対応をどのように一般化できるか？
• RQ2 両立的解体 $\mathbb{C}^3/G$ に対する $K(X)$ と $K_c(X)$ のグローテンディーク群の正確な双対構造は何か？
• RQ3 オイラーペアリングと整合するように、表現環 $R(G)$ をどのように修正すればよいか？
• RQ4 フーリエ＝ムカイ変換は、$K(X)$ と $K^G(\mathbb{C}^3)$ 間の同型を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 チャーン類ペアリングは、解体におけるコhomology 環の代数的構造をどのように記述するか？

主な発見

• $G$-Hilbert 書は、$SL(3,\mathbb{C})$ の有限部分群 $G$ に対して、$\pi: X \to \mathbb{C}^3/G$ の両立的解体を提供する。
• $\{\mathcal{R}_0, \ldots, \mathcal{R}_r\}$ は $K(X)$ の基底をなし、$\{\mathcal{S}_0, \ldots, \mathcal{S}_r\}$ は $K_c(X)$ の双対基底をなし得る。
• フーリエ＝ムカイ変換により、$\Phi: K(X) \to K^G(\mathbb{C}^3)$ および $\Phi_c: K_c(X) \to K_c^G(\mathbb{C}^3)$ が同型を誘導し、両者とも $R(G)$ に同型である。
• $\lambda = -Q + \Lambda^2 Q$ による乗法作用で誘導される $\kappa: R(G) \to R(G)$ の行列は、下部右ブロックが $C$ のブロック対角行列である。
• 修正基底 $\{R_k - \dim(R_k) R_0\}$ により、$K$-理論のペアリングが $R(G)$ の自然なペアリングと一致することが保証される。
• 積分 $\int_X \mathrm{ch}_c(\mathcal{S}_k) \cup \mathrm{ch}(\mathcal{R}_l) \hat{A}(X)$ として表されるチャーン類ペアリングは、表現論的双対性と整合する。