[論文レビュー] McKay correspondence

Miles Reid|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 76

ひとこと要約

この論文は、有限部分群 $G \subset \operatorname{SL}(n,\mathbb{C})$ の非可約表現と、商特異点 $\mathbb{C}^n/G$ のクレパント解消 $Y$ のホモロジー類との間の自然な全単写像として、マケイ対応を定式化し、表現論と代数幾何学の深い結びつきを確立する。主な貢献は、例とナカムラの $G$-ヒルベルトスキームに基づく、トーリック幾何とストリング的不変量によるこの対応の実現を示唆する予想的枠組みであり、特に3次元において有効である。

ABSTRACT

This is a rough write-up of my lecture at Kinosaki and two lectures at RIMS workshops in Dec 1996, on work in progress that has not yet reached any really worthwhile conclusion, but contains lots of fun calculations. History of Vafa's formula, how the McKay correspondence for finite subgroups of SL(n,C) relates to mirror symmetry. The main aim is to give numerical examples of how the 2 McKay correspondences (1) representations of G cohomology of resolution (2) conjugacy classes of G homology must work, and to restate my 1992 Conjecture as a tautology, like cohomology or K-theory of projective space. Another aim is to give an introduction to Nakamura's results on the Hilbert scheme of G-clusters, following his preprints and his many helpful explanations. This is partly based on joint work with Y. Ito, and has benefited from encouragement and invaluable suggestions of S. Mukai.

研究の動機と目的

• 有限群 $G \subset \operatorname{SL}(n,\mathbb{C})$ の非可約表現と、$\mathbb{C}^n/G$ のクレパント解消 $Y$ のホモロジー類との自然な対応を確立すること。
• 特に $n=3$ の場合に、既知の2次元ケースを超えて、マケイ対応の幾何学的・コホモロジー的基盤を高次元で構築すること。
• バーファのストリング的オイラー特徴量と、$e_{\text{string}}(M,G) = e(Y)$ であるという予想を介して、マケイ対応をミラー対称性および弦理論と結びつけること。
• マケイ対応が、$\mathbb{P}^n$ の構造に類似したコホモロジーまたは $K$-理論における「自明な」主張として導かれる可能性を提唱すること。
• ナカムラの $G$-ヒルベルトスキームが、特に3次元多様体において特徴的なクレパント解消を提供する役割を果たすことを探求し、それがトーリック多様体として実現可能であることを示すこと。

提案手法

• 表現論と $Y$ のコホモロジーを結ぶ主要な道具として、GSp–V ホールの束（自明な束）を用いる。
• 特に $n=3$ の場合に、ナカムラの $G$-ヒルベルトスキーム構成を用いて、一意でない最小モデルの問題を解消する標準的クレパント解消 $Y = G\text{-Hilb}$ を定義する。
• トーリック幾何とジュニア単体の三角形分割を用いて、解消 $Y$ をトーリック多様体として記述し、明示的なファーン構造を記述する。
• ニュートン多角形と格子点解析を用いて、$G$-クラスタを分類し、トライアントのジャイアンツのような接合法により解消の幾何を記述する。
• トポロジカル不変量と群のキャラクター理論を結ぶために、ストリング的オイラー特徴量の公式 $e_{\text{string}}(M,G) = \sum_{H \subset G} e(X_H) \cdot \#\{\text{conj. classes in } H\}$ を採用する。
• マケイクイバーとその基本領域を構成し、$Y$ のホモロジー的構造を符号化する。局所座標における $G$-クラスタの明示的式を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マケイ対応は、$G$ の表現論とクレパント解消 $Y$ のホモロジーとの間の自明な同型として定式化可能だろうか？
• RQ2 ナカムラの $G$-ヒルベルトスキームは、$n=3$ の次元において、最小モデルの非一意性問題を解消する標準的クレパント解消を提供するだろうか？
• RQ3 ストリング的オイラー特徴量 $e_{\text{string}}(M,G)$ とクレパント解消 $Y$ のオイラー特徴量 $e(Y)$ との関係は何か？
• RQ4 トーリック記述における $G$-ヒルベルトの2つの異なる接合ルール（「上」および「下」のトライアド）の幾何的意味は何か？
• RQ5 マケイ対応は、Calabi–Yau幾何の零次元極限において、$G$-ミラー対称性のようなより深い原理から導かれるだろうか？

主な発見

• マケイ対応は、$G$ の非可約表現と $H^*(Y,\mathbb{Z})$ の基底との間の自明な同型として、カップ積と双対性と整合的であると予想される。
• $n=3$ の場合、[IR] で共役類対応の弱い版（2）が証明されており、完全な一般化への道筋が示唆されている。
• $G$-ヒルベルトスキームは、$\mathbb{C}^3/G$ の特徴的なクレパント解消を提供し、3次元多様体における最小モデルの非一意性問題を解消する。
• 解消 $Y = G\text{-Hilb}$ は、ジュニア単体の三角形分割を通じてトーリック多様体として実現され、幾何を符号化する明示的なファーン構造を持つ。
• $G$-クラスタの幾何は、ニュートン多角形（トライポッド）に符号化され、$\uparrow$ および $\downarrow$ の配置に対応する2つの異なる接合ルールが存在し、レイヤー剥がし操作と関連している。
• $\frac{1}{37}(1,5,31)$ のマケイクイバーの基本領域から、$x^4 = \lambda y^2 z$、$y^4 = \mu x z^3$、$z^5 = \nu x^2 y$ といった明示的式が得られ、解消の局所構造を記述する。