[論文レビュー] Geometrical structures on the prolongation of a pre-Lie algebroid on fibered manifolds and application to Partial Finsler geometry on foliated anchored bundle

Fernand Pelletier|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ファイバードマンフォールド上の前Lie代数分岐体の延長上における幾何的構造——非線形接続、フィンスラー接続、曲率——を拡張し、葉層構造を持つアンカー付束上でのこれらの構造が、特定の前Lie代数分岐体の括弧に依存せず、葉層構造にのみ依存することを示している。主な結果は、全空間上のフィンスラー接続が、葉層の各葉上に古典的フィンスラー接続およびチェーン接続を誘導することである。

ABSTRACT

A pre-Lie algebroid is an anchored bundle provided with an almost Lie bracket such that the anchor is compatible with the Lie bracket of vector fields. We firstly show how most geometrical structures intensively studied in the framework of Lie algebroid can easily be extended in the pre-Lie algebroid context. The principal purpose of this paper is to show that how all these results only depend of the foliated structure and do not depend of the pre-Lie algebroid structure that we can put on a foliated anchored bundle. As application, we obtain a Finsler connection on a foliated anchored bundle which induces the classical Finsler connection on each leaf and a similar result for the Chern connection.

研究の動機と目的

• ファイバードマンフォールド上でのLie代数分岐体から前Lie代数分岐体への幾何的構造の一般化を図ること。
• 葉層構造を持つアンカー付束上でのフィンスラー接続およびチェーン接続が、前Lie代数分岐体の括弧に依存しないグローバル構造によって誘導されることを示すこと。
• 全空間における曲率と葉層の個々の葉上の曲率との間の関係を確立すること。
• 部分フィンスラー代数分岐体の文脈においてフラッグ曲率を定義・分析し、葉上に誘導される構造と関連付けること。

提案手法

• ファイバードマンフォールド上のアンカー付束を延長し、誘導されたアンカーおよびほぼLie括弧を備えた新しいベクトル束を構成すること。
• 非線形接続をモデル化するため、延長上にほぼ接ベクトルおよびほぼ余接ベクトル構造を定義すること。
• シンプレクティック構造および計量構造と整合する非線形接続を生成するために、半射出（semisprays）を用いること。
• 動的微分作用素と標準的半射出を用いてラグランジュ計量接続を構成し、シンプレクティック形式および計量形式と整合すること。
• 全空間上に部分フィンスラー構造を定義し、葉層の各葉上にフィンスラー接続およびチェーン接続を誘導すること。
• 部分フィンスラー代数分岐体のフラッグ曲率を導出し、射影を介して個々の葉上の曲率と関連付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形接続やフィンスラー接続といった幾何的構造を、Lie代数分岐体から前Lie代数分岐体へどのように一般化できるか。
• RQ2 葉層構造を持つアンカー付束上に誘導されるフィンスラー接続およびチェーン接続が、前Lie代数分岐体の括弧の選択にどの程度依存するか。
• RQ3 部分フィンスラー代数分岐体の曲率は、各葉上に誘導されるフィンスラー構造の曲率とどのように関係するか。
• RQ4 全空間におけるフラッグ曲率と、葉層の葉上のフラッグ曲率との関係は何か。
• RQ5 全空間上にグローバルなフィンスラー接続が存在する場合、それが各葉上に古典的フィンスラー接続およびチェーン接続を誘導できるか。

主な発見

• 葉層構造を持つアンカー付束の全空間上のフィンスラー接続およびチェーン接続は、葉層の各葉上に古典的フィンスラー接続およびチェーン接続を誘導する。
• 各葉上に誘導される接続は、前Lie代数分岐体の括弧の選択に依存せず、葉層構造にのみ依存する。
• 部分フィンスラー代数分岐体のリーマン曲率 $ R $ およびミンコフスキー曲率 $ P $ は、それぞれの葉 $ N $ 上の対応する曲率 $ R_N $ および $ P_N $ に射影される。
• 葉 $ N $ 上のフラッグ曲率 $ K_N(ar{u}, ar{ u}) $ は、全空間におけるフラッグ曲率 $ K(u, u) $ に等しく、ここで $ ho_N(u) = \bar{u} $ かつ $ ho_N(\nu) = \bar{\nu} $ である。
• 全空間上の線形接続 $ \nabla^U $ がセクション $ U $ に対して満たす曲率は、$ \tilde{\rho}(R(\tilde{X}, \tilde{Y})(x, U(x))) = R^U(X,Y)(x) $ を満たし、全空間と葉上の曲率を結びつける。
• 正則ラグランジュアン $ \tilde{\rho} $ に関連する標準的非線形接続は、シンプレクティック構造および計量構造と両方整合し、一意性を保証する。