[論文レビュー] Geometry and moduli of polarised varieties

Caucher Birkar|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、弱い特異性および擬効性条件の下で、ネフかつベイビューディバリアントを備えた極小化された射影的多様体上の線型系の被約有界性を確立する。次元 $d$ で $ϵ$-lc 特異性をもち、$N - K_X$ が擬効的なネフかつベイビューディバリアント $N$ を持つ多様体 $X$ に対して、$m$ が $d$ と $ϵ$ のみに依存するような $|mN|$ が被約写像を定義することを証明する。これにより、極小化されたカバリ・ヤウおよびファノ対の有界性が得られ、射影的粗モジュライ空間の存在が示される。

ABSTRACT

In this paper we investigate the geometry of projective varieties polarised by ample and more generally nef and big Weil divisors. First we study birational boundedness of linear systems. We show that if $X$ is a projective variety of dimension $d$ with $\epsilon$-lc singularities for $\epsilon>0$, and if $N$ is a nef and big Weil divisor on $X$ such that $N-K_X$ is pseudo-effective, then the linear system $|mN|$ defines a birational map for some natural number $m$ depending only on $d,\epsilon$. This is key to proving various other results. For example, it implies that if $N$ is a big Weil divisor (not necessarily nef) on a klt Calabi-Yau variety of dimension $d$, then the linear system $|mN|$ defines a birational map for some natural number $m$ depending only on $d$. It also gives new proofs of some known results, for example, if $X$ is an $\epsilon$-lc Fano variety of dimension $d$ then taking $N=-K_X$ we recover birationality of $|-mK_X|$ for bounded $m$. We prove similar birational boundedness results for nef and big Weil divisors $N$ on projective klt varieties $X$ when both $K_X$ and $N-K_X$ are pseudo-effective (here $X$ is not assumed $\epsilon$-lc). Using the above we show boundedness of polarised varieties under some natural conditions. We extend these to boundedness of semi-log canonical Calabi-Yau pairs polarised by effective ample Weil divisors not containing lc centres. Combining this with the moduli theory of stable pairs we show that polarised Calabi-Yau pairs and polarised Fano pairs admit projective coarse moduli spaces.

研究の動機と目的

• ネフかつベイビューディバリアントを備えた極小化された多様体上の線型系の被約有界性を、弱い特異性の下で確立すること。
• 既知の反標準線型系の被約性結果を、一般のイデアル的およびベイビューディバリアントに拡張すること。
• 自然な幾何的条件下で、極小化されたカバリ・ヤウおよびファノ対の有界性を証明すること。
• 安定対のモジュライ理論を用いて、極小化されたカバリ・ヤウおよびファノ対の射影的粗モジュライ空間を構成すること。
• 極小化された対が $\mathrm{lc}$ 中心を含まない効果的でイデアル的なウェイリ・ディバリアントによって極小化される半対数正則カバリ・ヤウ対への結果の一般化。

提案手法

• 次元 $d$ の射影的多様体上の線型系を制御するため、$\epsilon$-lc 特異性と $N - K_X$ の擬効性を用いる。
• ネフかつベイビューディバリアントを用いた線型系の有界性結果を応用し、$m$ が $d$ と $\epsilon$ のみに依存する $|mN|$ の被約性を導出する。
• klt カバリ・ヤウおよびファノ多様体の構造を活用し、$N$ がネフでない場合でも、ベイビューディバリアントへの被約有界性を拡張する。
• 安定対の理論およびモジュライ空間を応用し、極小化されたカバリ・ヤウおよびファノ対の射影的粗モジュライ空間の存在を示す。
• 極小化するディバリアントが $\mathrm{lc}$ 中心を含まないという条件を用いて、結果を半対数正則対へ拡張する。
• 有界性結果とモジュライ理論を組み合わせ、効果的イデアル性および擬効性制約の下で射影的粗モジュライ空間の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元および特異性タイプにのみ依存する $m$ に対して、ネフかつベイビューディバリアント $N$ を持つ射影的多様体 $X$ 上の線型系 $|mN|$ が被約写像を定義する条件は何か？
• RQ2 klt カバリ・ヤウ多様体上で、反標準線型系から得られる被約有界性の結果を、一般のベイビューディバリアントに拡張できるか？
• RQ3 効果的イデアル性および擬効性の下で、極小化されたカバリ・ヤウ対の有界性に必要な十分な条件は何か？
• RQ4 モジュライ理論をどのように応用して、極小化されたカバリ・ヤウおよびファノ対の射影的粗モジュライ空間を構成できるか？
• RQ5 極小化されたイデアル的ウェイリ・ディバリアントが $\mathrm{lc}$ 中心を含まない半対数正則カバリ・ヤウ対への被約有界性の結果をどの程度一般化できるか？

主な発見

• 次元 $d$ で $\epsilon$-lc 特異性をもち、$N - K_X$ が擬効的なネフかつベイビューディバリアント $N$ を持つ射影的多様体 $X$ に対して、$m$ が $d$ と $\epsilon$ のみに依存するような $|mN|$ が被約写像を定義する。
• 次元 $d$ のklt カバリ・ヤウ多様体上では、任意のベイビューディバリアント $N$ に対して、$m$ が $d$ のみに依存するような $|mN|$ が被約写像を定義する。
• この結果は、$\epsilon$-lc ファノ多様体における $|-mK_X|$ の既知の被約性を回復し、一般枠組みを用いた新たな証明を提供する。
• klt 多様体上でのネフかつベイビューディバリアント $N$ に対して、$K_X$ と $N - K_X$ が両方とも擬効的である場合、$\epsilon$-lc 特異性を仮定しないでも被約有界性が成り立つ。
• 極小化するディバリアントがイデアル的であり、$\mathrm{lc}$ 中心を含まないという条件下で、極小化されたカバリ・ヤウ対の有界性が確立される。
• 安定対のモジュライ理論を用いて、本稿は極小化されたカバリ・ヤウおよびファノ対が射影的粗モジュライ空間を有することを証明する。