[論文レビュー] Geometry of cohomology support loci II: integrability of Hitchin's map

Donu Arapura|ArXiv.org|Jan 26, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、滑らかな複素射影多様体上の半安定Higgs束で、有理数係数で自明なチャーン類をもち、非自明なk番目のコホモロジーをもつものからなるコホモロジー補助locus（cohomology support locus）が、アーベル多様体の退化であることを確立している。シンプソンの一般化されたヒチン写像を用いて、この写像の像上の一般ファイバーの連結成分がアーベル多様体であることを証明しており、ハイパーカähler幾何とラグランジュ被覆を介して、グリーンとラザルフェルドの一般化定理を非アーベル的状況へ拡張している。

ABSTRACT

In very rough terms, the main theorem is that the set, which consists of semistable vector bundles with trivial rational Chern classes and nontrivial kth cohomology on a smooth complex projective variety, is a degeneration of a union of abelian varieties. More precisely, we consider the subset of the moduli space of Higgs bundles satisfying the analogous cohomological condition. We show that this set is Zariski closed and that if Sigma is the normalization of an irreducible component containing a stable point, then a connected component of a general fiber of the restriction of the Hitchin map to Sigma is an abelian variety. This should be interpreted as a nonabelian version of a theorem of Green and Lazarsfeld. The Hitchin map in this setting is in fact Simpson's generalization of it. The key point is to show that the general fibers of this map are lagrangian (where the target of the map is taken to be the image). This hinges on the fact that this property is essentially hereditary for hyperkaehler submanifolds. We establish various other properties of these sets including a codimension estimate which may be viewed as a generic vanishing theorem.

研究の動機と目的

• Higgs束を用いて、グリーンとラザルフェルドの一般化定理を非アーベル的状況へ拡張すること。
• 有理数係数で自明なチャーン類をもつ半安定Higgs束のモジュライ空間におけるコホモロジー補助locusの幾何を分析すること。
• 補助locusの各既約成分上での制限されたヒチン写像のファイバーがラグランジュ的であり、かつその連結成分としてアーベル多様体を含むことの確立。
• 非自明なコホモロジーをもつHiggs束の集合が、モジュライ空間においてザリスキ閉であることの証明。
• コホモロジー補助locusの余次元推定を導出し、非アーベル的文脈における一般化定理として解釈すること。

提案手法

• 補助locusの既約成分に含まれる安定Higgs束を含む、その正規化Σにヒチン写像を制限する。
• ヒチン写像の像を標的としてとることで、写像が適切に定義され、固有であることを保証する。
• ハイパーカähler部分多様体への制限において、ラグランジュ被覆の遺伝的性質を活用し、一般ファイバーがラグランジュ的であることを示す。
• ハイパーカähler幾何の技法を適用して、一般ファイバーの連結成分がアーベル多様体であることを導出する。
• モジュライ空間の代数的幾何的性質を用いて、コホモロジー補助locusのザリスキ閉性を確立する。
• ヒチン被覆の構造とファイバーの次元を用いて、支持locusの余次元推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Higgs束のモジュライ空間におけるコホモロジー補助locusが、いつザリスキ閉になるか。
• RQ2 補助locus上でのヒチン写像のファイバーが、連結成分としてアーベル多様体を含むことを示せるか。
• RQ3 補助locusの既約成分への制限において、ヒチン被覆のラグランジュ構造はどの程度保存されるか。
• RQ4 コホモロジー補助locusの余次元とヒチン被覆のファイバーの次元とは、どのように関係するか。
• RQ5 シンプソンによるヒチン写像の一般化は、グリーンとラザルフェルドの一般化定理を非アーベル的状況へどの程度拡張可能か。

主な発見

• 有理数係数で自明なチャーン類をもち、非自明なk番目のコホモロジーをもつ半安定Higgs束のコホモロジー補助locusは、モジュライ空間においてザリスキ閉である。
• 安定Higgs束を含む補助locusの既約成分Σに対し、Σの正規化はヒチン写像の制限を許容し、その一般ファイバーの連結成分としてアーベル多様体を含む。
• 制限されたヒチン写像の一般ファイバーは、モジュライ空間上の正則シンプレクティック形式に関してラグランジュ的である。
• コホモロジー補助locusの余次元は、ヒチン被覆の基底の次元によって下から抑えられ、これは一般化定理の推定として解釈できる。
• ファイバーのラグランジュ性質は、ハイパーカähler部分多様体への制限においても保存され、これが証明において不可欠である。
• 本結果は、線分束に対するグリーンとラザルフェルドの一般化定理を、Higgs束および表現のモジュライ空間の文脈へ非アーベル的拡張として与える。