[論文レビュー] Geometry of diffeomorphism groups, complete integrability and optimal transport

Boris Khesin, Jonatan Lenells+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、体積密度の空間 $$\text{Dens}(M)\u0024$ と無限次元球面の部分集合との間に幾何的等長写像を確立し、右不変な $\dot{H}^{1}$-計量を導入することで、球面ヘル링ター距離を誘導する。関連するオイラー＝アルノの運動方程式は任意の次元で完全可積分であり、滑らかな解の有限時刻 blow-up を示す。これにより、微分同相群の幾何学が最適輸送および情報幾何学（フィッシャー＝ラオ計量）と結びつく。

ABSTRACT

We study the geometry of the space of densities $\VolM$, which is the quotient space $\Diff(M)/\Diff_μ(M)$ of the diffeomorphism group of a compact manifold $M$ by the subgroup of volume-preserving diffemorphisms, endowed with a right-invariant homogeneous Sobolev $\dot{H}^1$-metric. We construct an explicit isometry from this space to (a subset of) an infinite-dimensional sphere and show that the associated Euler-Arnold equation is a completely integrable system in any space dimension. We also prove that its smooth solutions break down in finite time. Furthermore, we show that the $\dot{H}^1$-metric induces the Fisher-Rao (information) metric on the space of probability distributions, and thus its Riemannian distance is the spherical version of Hellinger distance. We compare it to the Wasserstein distance in optimal transport which is induced by an $L^2$-metric on $\Diff(M)$. The $\dot{H}^1$ geometry we introduce in this paper can be seen as an infinite-dimensional version of the geometric theory of statistical manifolds.

研究の動機と目的

• 体積密度空間 $\text{Dens}(M) = \text{Diff}(M)/\text{Diff}_{\mu}(M)\u0024$ と右不変な $\dot{H}^{1}$-計量のもとで無限次元球面の部分集合との間の幾何的等長写像を確立すること。
• 誘導された $\dot{H}^{1}$-計量が $\text{Dens}(M)$ 上で球面ヘルリングター距離およびフィッシャー＝ラオ情報計量に対応することを示すこと。
• $\text{Dens}(M)$ 上の測地線流れを解析し、オイラー＝アルノの運動方程式の完全可積分性と滑らかな解の有限時刻 blow-up を証明すること。
• 無限次元リーマン幾何学的微分同相群の枠組みを通じて、最適輸送（ワッサーシュタイン $L^2$-計量）と情報幾何学（フィッシャー＝ラオ計量）の幾何的構造を統一すること。

提案手法

• 体積形式 $\mathrm{Vol}(M)$ 上への $\text{Diff}(M)$ の埋め込みを用い、$\text{Dens}(M)$ 上に右不変計量を誘導する。その計量は $\langle\!\!\langle u,v\rangle\!\!\rangle = \frac{1}{4}\int_M \operatorname{div} u \cdot \operatorname{div} v \, d\mu$ で定義される $\dot{H}^{1}$-ノルムを用いて、$\text{Dens}(M)$ から無限次元ヒルベルト球の部分集合への明示的等長写像を構成する。
• 右不変 $\dot{H}^{1}$-計量に対するオイラー＝アルノの運動方程式を導出し、逆散乱法を用いてそれが球面上の完全可積分系に還元されることを示す。
• $\dot{H}^{1}$-計量が確率分布空間上にフィッシャー＝ラオ計量を誘導することを証明し、情報幾何学およびチャエンツォフ＝アマリ $\alpha$-接続と結びつける。
• $\text{Diff}(M)$ を体積形式空間 $\mathrm{Vol}(M)$ に埋め込むことにより、$\text{Dens}(M)$ 上に右不変計量を誘導し、その式は $\langle\!\!\langle u,v\rangle\!\!\rangle = \frac{4}{n}\int_M \operatorname{div} u \cdot \operatorname{div} v \, d\mu$ で与えられる。
• 測地線流れの曲率および大域的性質を解析し、指数写像が blow-up 時刻まで正しく定義され、解が有限時刻で崩壊することを示す。
• 計量をリーマン計量空間 $\text{Met}(M)$ 上に拡張し、軌道上に誘導される $\dot{H}^{1}$-計量がリッチ曲率を含む一般の $a$-$b$-$c$ 計量公式に従うことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度空間 $\text{Dens}(M)$ 上の $\dot{H}^{1}$-計量は、無限次元球面の幾何学とどのように関係しているか？
• RQ2 密度空間 $\text{Dens}(M)$ 上の $\dot{H}^{1}$-計量に関連するオイラー＝アルノの運動方程式は、任意の次元で完全可積分構造を有するか？
• RQ3 無限次元確率空間において、$\dot{H}^{1}$-計量とフィッシャー＝ラオ情報計量の関係は何か？
• RQ4 密度空間 $\text{Dens}(M)$ 上の $\dot{H}^{1}$-計量は、球面ヘルリングター距離の幾何的実現として解釈可能か？
• RQ5 密度空間 $\text{Dens}(M)$ 上の測地線の曲率および大域的ダイナミクスは、$L^2$-計量を備えた古典的最適輸送空間 $\text{Diff}(M)$ と比較してどのように異なるか？

主な発見

• 右不変 $\dot{H}^{1}$-計量を備えた空間 $\text{Dens}(M)$ は、無限次元球面の部分集合と等長である。これにより、密度空間の幾何的実現が得られる。
• $\dot{H}^{1}$-計量は確率分布空間上に球面ヘルリングター距離を誘導し、これはフィッシャー＝ラオ計量に付随するリーマン計量距離である。
• 右不変 $\dot{H}^{1}$-計量に対するオイラー＝アルノの運動方程式は任意の空間次元で完全可積分であり、カマッサ＝ホルム方程式やバーガース方程式といった可積分系の一般化を提供する。
• $\text{Dens}(M)$ 上の測地線方程式の滑らかな解は有限時刻で崩壊する（有限時刻 blow-up）が、可積分性は保たれている。
• $\dot{H}^{1}$-計量は、$\text{Diff}(M)$ が $\mathrm{Vol}(M)$ 上に作用する商計量として自然に生じ、その誘導計量は $\frac{4}{n}\int_M \operatorname{div} u \cdot \operatorname{div} v \, d\mu$ で与えられる。
• $\text{Dens}(M)$ 上の $\dot{H}^{1}$-計量の曲率は非自明であり、指数写像は有限の blow-up 時刻までしか定義されない。これは滑らかな解の崩壊と整合的である。