[論文レビュー] Geometry of generalized higher order fields and applications to classical linear electrodynamics

Ricardo Gallego Torromé|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 58被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、古典電磁力学における放射反動問題を解消するための一般化された高次微分幾何学的枠組みを導入する。最大加速度時空幾何と高次微分形式を組み合わせることで、発散解や前加速解を有しないローレンツ不変で2階の運動方程式を導出し、有限な自己エネルギーと標準的な放射法則との整合性を保つ一貫した点電荷力学の古典的理論を提供する。

ABSTRACT

Motivated by obtaining a consistent mathematical description for the radiation reaction of point charged particles in linear classical electrodynamics, a theory of generalized higher order tensors and differential forms is introduced. The generalization of some fundamental notions of the differential geometry and the theory of differential forms is presented. In particular, the cohomology and integration theories for generalized higher order forms are developed, including the Cartan calculus, a generalization of de Rham cohomology and a version of Thom's isomorphism theorem. We consider in detail a special type of generalized higher order tensors associated with bounded maximal $n$-acceleration and use it as a model of spacetime. A generalization of electrodynamic theory with higher order fields is introduced. We show that combining the generalized higher order fields with maximal acceleration geometry the evolution of a point charged particle interacting with the generalized higher order fields can be described by solutions of an implicit second order ordinary differential equation. In flat space such equation is Lorentz invariant, does not have pre-accelerated solutions of Dirac's type or run-away solutions, it is compatible with Newton's first law of dynamics and with the covariant Larmor's power radiation law. A generalization of the Maxwell-Lorentz theory is also introduced. The theory is linear in the field sector and it reduces to the standard Maxwell-Lorentz electrodynamics when the maximal acceleration is infinite. Finally, we discuss the assumptions of our framework in addition to some predictions of the theory.

研究の動機と目的

• 古典電磁力学における理論的不整合、特にローレンツ＝デイラー方程式における発散解や前加速解を解消すること。
• ジャンボルダの幾何と一般化コhomology理論を用いた高次微分形式およびテンソルの一貫した数学的枠組みを構築すること。
• 点粒子力学の物理的正規化子としての最大n加速度を有する時空幾何を導入すること。
• 線形性を保ちつつ、標準理論に無限大の最大加速度極限で還元可能な高次場へのマクスウェル＝ローレンツ電磁力学の一般化を行うこと。
• 非アーベルゲージ理論および重力への拡張の基盤を築くとともに、その量子化を検討すること。

提案手法

• ジャンボルダ上での一般化された高次微分形式のコホモロジーおよび積分理論を構築し、カルタン微積分とトムの同型定理のバージョンを含む。
• ジャンボルダ上に一般化された計量構造を導入し、関連するg双対同型写像と積分および双対性に適した一般化されたスター作用素を定義する。
• 共変的計量と因果的構造の形式的定式化から導かれる、上限付き最大n加速度を持つ時空モデルを構築する。
• 高次電磁場を Λ²(M, F(Jᵏ₀(M))) の切断として定義し、拡張形式における一般化された励起テンソルと電荷密度を定義する。
• 一般化された場の方程式と最大加速度幾何を用いて、点電荷粒子の2階非線形常微分方程式を導出する。
• 平坦空間においてニュートンの第一法則と共変的ラーマー放射法則の両方に整合し、物理的整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 発散解や前加速解を有さない一貫した古典的放射反動理論を構築することは可能か？
• RQ2 非局所場理論を幾何学的に整合的に記述するための高次微分形式および一般化コホモロジーをどのように発展させることができるか？
• RQ3 最大加速度が古典電磁力学における発散を規格化し、有限な自己エネルギーを保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 一般化された高次電磁力学は、最大加速度を無限大にとった極限でどのように標準的なマクスウェル＝ローレンツ理論に還元されるか？
• RQ5 この枠組みは、非アーベルゲージ理論および重力への古典場理論の拡張にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 点電荷粒子の導出された運動方程式は、2階の非線形常微分方程式であり、ローレンツ不変で発散解や前加速解を有しない。
• 理論はニュートンの第一法則を保ち、共変的ラーマー放射パワー則とも整合し、エネルギー運動量保存則との整合性が保証される。
• 一般化された高次場理論は場の領域で線形であり、最大加速度を無限大にとった極限では標準的なマクスウェル＝ローレンツ電磁力学に還元される。
• この枠組みは、計量が上限付きn加速度から導かれる、新しい幾何的構造「最大加速度時空」を導入し、明確な因果的構造を示す。
• 一般化された形式のコホモロジー理論にはトムの同型定理のバージョンが含まれており、垂直体積形式による積分を可能とし、場強度の物理的解釈を可能にする。
• 理論は局所的ポテンシャル記述とホロノミーに基づく変数との自然な接続を示唆し、量子ゲージ理論に関連するものである。