[論文レビュー] Geometry of infinitely presented small cancellation groups, Rapid Decay and quasi-homomorphisms

Goulnara Arzhantseva, Cornelia Druţu|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 45被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$C^\prime(1/10)$ を満たす無限に提示された小拡張群に対して、そのケーリー図における群元の新しいクロス・クロス分解を用いて、急速減少性（Rapid Decay）の性質を確立する。さらに、連続体濃度の線形独立な一様準同型写像の族の存在を示し、2次コホモロジーにおける比較写像の核が非可算次元を持つことを示唆する。

ABSTRACT

We study the geometry of infinitely presented groups satisfying the small cancelation condition C'(1/8), and define a standard decomposition (called the criss-cross decomposition) for the elements of such groups. We use it to prove the Rapid Decay property for groups with the stronger small cancelation property C'(1/10). As a consequence, the Metric Approximation Property holds for the reduced C*-algebra and for the Fourier algebra of such groups. Our method further implies that the kernel of the comparison map between the bounded and the usual group cohomology in degree 2 has a basis of power continuum. The present work can be viewed as a first non-trivial step towards a systematic investigation of direct limits of hyperbolic groups.

研究の動機と目的

• 無限に提示された小拡張群が $C^\prime(1/10)$ を満たす場合の急速減少性を確立し、有限提示の場合に限らない解析的結果を拡張すること。
• $C^\prime(1/8)$-群における群元の幾何的分解手法「クロス・クロス分解」を考案し、測地線と群構造を分析すること。
• このような群において非可算次元の独立な一様準同型写像の族を構成し、豊富な有界コホモロジー構造を明らかにすること。
• 解析的不変量（急速減少性や一様準同型写像）を用いて、双曲群の直接極限の体系的考察を開始すること。
• 幾何的群論と作用素代数の橋渡しを図り、群の性質と $C^*_r(G)$ および $A(G)$ のメトリック近似性質の関連を示すこと。

提案手法

• $C^\prime(1/8)$-群における群元の分解として、測地線とケーリー図における中央値対象の幾何的性質に基づく、クロス・クロス分解を導入する。
• クロス・クロス分解を用いて語長の増大を制御し、$\eta$-関係子に束縛された要素における輪郭解析によって、一様準同型写像の欠陥を評価する。
• 中央値対象 $\mathfrak{m}(g,h)$ を用いて、関係子のネストされた準同型コピー間の分離を検出することで、一様準同型写像の差を正確に計算可能にする。
• $\eta$-関係子に束縛された要素 $\mathfrak{u}_n$ に関連する一様準同型写像 $\mathfrak{h}_{\mathfrak{u}_n}$ を定義し、輪郭数え上げと分離基準を用いて欠陥を2以下に制限する。
• $\ell^1$ から一様準同型写像空間 $\widetilde{QH}(G)$ への単射線形写像を構成し、$\mathfrak{h}(\mathfrak{u}_n^k)$ の成長に関する背理法を用いて非可算次元を証明する。
• クロス・クロス分解を活用し、$C^\prime(1/10}$ における急速減少不等式が成立することを検証し、$C^*_r(G)$ および $A(G)$ のメトリック近似性質を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限に提示された小拡張群が $C^\prime(1/10)$ を満たす場合、急速減少性は成立するか？
• RQ2 $C^\prime(1/8)$-群において、測地線の振る舞いと語長を制御できる群元の標準的分解を構成可能か？
• RQ3 このような群における2次有界コホモロジー類の空間の次元はいかほどか？
• RQ4 $C^\prime(1/10)$-群において、非可算次元の独立な一様準同型写像の族を構成可能か？
• RQ5 小拡張設定における測地線と中央値対象の幾何が、一様準同型写像の欠陥にどのように関係するか？

主な発見

• $C^\prime(1/10}$ で提示される群 $G$ は急速減少性を満たし、これにより簡約 $C^*$-代数 $C^*_r(G)$ およびフーリエ代数 $A(G)$ がメトリック近似性質を有する。
• 2次有界群コホモロジーから通常の群コホモロジーへの比較写像の核は、連続体濃度の基底を持つため、非自明な有界コホモロジー類の大きな空間を示している。
• $G$ には非可算次元の線形独立な一様準同型写像の族が存在し、空間 $\widetilde{QH}(G)$ の次元は連続体と等しい。
• クロス・クロス分解は、リプス＝セラの標準代表とは異なる、$C^\prime(1/8)$-群における測地線と群元を分析する幾何的道具を提供する。
• 一様準同型写像 $\mathfrak{h}_{\mathfrak{u}_n}$ の欠陥は2以下であり、$\mathfrak{u}_n^k$ 上での値は線形に増大するため、$\ell^1$ から $\widetilde{QH}(G)$ への写像が単射であることが保証される。
• 中央値対象 $\mathfrak{m}(g,h)$ による輪郭の分離に依存し、差 $\mathfrak{h}_{\mathfrak{v}}(gh) - \mathfrak{h}_{\mathfrak{v}}(g) - \mathfrak{h}_{\mathfrak{v}}(h)$ はネスト状態と分離条件に応じて $\pm 1$ または $\pm 2$ に有界である。