[論文レビュー] Geometry of oblique projections

Esteban Andruchow, Gustavo Corach+1 more|ArXiv.org|Nov 17, 1999

Mathematics and Applications参考文献 26被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、単位的C*-代数における斜交射影の微分幾何学を、直交射影、$a$-自己随伴射影、および正の可逆元によって誘導されるユニタリ変換の相違に着目して調査する。写像 $\varphi_p: G^+ \to P_a$ と $\Omega_a: P_a \to P$ が微分同相写像であることを確立し、$a$-随伴対称性を含む接ベクトル条件を用いて、同じ $a$-自己随伴射影空間に属する近接した幂等元の対を特徴づけ、それによりそのような射影の間の一意的な短い測地線の構成を可能にする。

ABSTRACT

Let A be a unital C*-algebra. Denote by P the space of selfadjoint projections of A. We study the relationship between P and the spaces of projections P_a determined by the different involutions #_a induced by positive invertible elements a in A. The maps f_p: P o P_a sending p to the unique q in P_a with the same range as p and Ω_a: P_a o P sending q to the unitary part of the polar decomposition of the symmetry 2q-1 are shown to be diffeomorphisms. We characterize the pairs of idempotents q, r in A with |q-r|<1 such that there exists a positive element a in A verifying that q, r are in P_a. In this case q and r can be joined by an unique short geodesic along the space of idempotents Q of A.

研究の動機と目的

• 斜交射影に関するPasternak-Winiarskiの解析的結果を、単位的C*-代数の設定に一般化すること。
• C*-代数における幂等元 $Q$、射影 $P$、正の可逆元 $G^+$ の空間の微分幾何的構造を研究すること。
• ノルムが 1 より小さい $\|p - q\| < 1$ であるような幂底元の対 $p,q \in Q$ が、ある $a \in G^+$ に対して同じ $a$-自己随伴射影空間 $P_a$ に属する条件を特徴づけること。
• そのような対が、$a$-随伴構造の幾何学を用いて、$Q$ 内で一意的な短い測地線で結べることを確立すること。

提案手法

• 固定された射影 $p \in P$ に関する $\mathcal{A}$ の要素の行列表現を用い、$p$ を $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ と同一視し、他の幂等元を $\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ と表現する。
• $a \in G^+$ に対して $x^{\#_a} = a^{-1}x^*a$ を定義し、これにより $\mathcal{A}$ 上に新たな対合を誘導する。
• $\varphi_p: G^+ \to Q$ を、$p$ と同じ像を持つ唯一の $a$-自己随伴射影へ写像する写像とし、その像 $P_a$ への制限が微分同相写像であることを証明する。
• $\Omega_a: P_a \to P$ を、$2q - 1$ の極分解におけるユニタリ部へ写像する写像と定義し、これが微分同相写像であることを示す。
• 測地線の流れの対数表現 $X = \frac{1}{2}(\log v_1 - \log v_2)$ を用い、$v_1 = qp + (1-q)(1-p)$ および $v_2 = pq + (1-p)(1-q)$ として、$Q$ 内の測地線をパrametrizeする。
• $p,q \in P_a$ である条件を、接ベクトル $X$ が $X^{\#_a} = -X$ を満たすこととして特徴づけ、これは $X = \begin{pmatrix} 0 & x \\ y & 0 \end{pmatrix}$ に対して $y = -c x^* b$ と等価である（$b,c \in G^+$）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノルムが 1 より小さい $\|p - q\| < 1$ であるような二つの幂等元 $p,q \in Q$ が、ある正の可逆元 $a$ に対して同じ $a$-自己随伴射影空間 $P_a$ に属するための条件は何か？
• RQ2 そのような $p$ と $q$ を結ぶ一意的な短い測地線は、$p$ における接ベクトル $X$ を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 写像 $\varphi_p$ と $\Omega_a$ を通じて、空間 $P$（直交射影）と $P_a$（$a$-自己随伴射影）の間の幾何的関係は何か？
• RQ4 $T(Q)_p$ 内のどの接方向が $Q$ 内の短い測地線に対応し、それらは $a$-随伴構造とどのように関係しているか？
• RQ5 射影の軌道 $\Omega_a \circ \varphi_a$ はどのように振る舞い、その幾何的特徴づけは何か？

主な発見

• $p$ と同じ像を持つ $a$-自己随伴射影へ写像する写像 $\varphi_p: G^+ \to P_a$ は微分同相写像である。
• $2q - 1$ の極分解におけるユニタリ部へ写像する写像 $\Omega_a: P_a \to P$ は微分同相写像である。
• $\|p - q\| < 1$ である $p,q \in Q$ に対して、ある $a \in G^+$ が存在して $p,q \in P_a$ となることと、$q = e^X p e^{-X}$ を満たす接ベクトル $X$ が $X^{\#_a} = -X$ を満たすこととは同値である。
• 条件 $X^{\#_a} = -X$ は、$X = \begin{pmatrix} 0 & x \\ y & 0 \end{pmatrix}$ に対して $y = -c x^* b$ と等価であり、$b \in G^+(p\mathcal{A}p)$、$c \in G^+((1-p)\mathcal{A}(1-p))$ である。
• $Q$ 内の短い測地線の空間は、純粋な水平方向や垂直方向を越えて、$a$-随伴対称性やファイバー再び $\Omega^a$ によって誘導されるものも含む。
• 射影 $p$ の $\Omega_a \circ \varphi_a$ による軌道は、すべての射影 $r \in P$ からなる。ここで $r$ はある $a \in G^+$ に対して $a$-自己随伴射影である。この軌道は、$p$ と $r$ を $a$-構造を介して結ぶ測地線の存在によって特徴づけられる。