[論文レビュー] Geometry of rank tests

Jason Morton, Lior Pachter+3 more|ArXiv.org|May 7, 2006

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非パラメトリック統計における順位検定を、置換の統計によって誘導される対称群 $S_n$ の分割としてモデル化する幾何的・代数的枠組みを導入する。凸順位検定がブレード配置を粗くするポリトープ的ファンに対応することを確立し、また、単調関数的およびグラフ的順位検定がそれぞれ置換体およびグラフアソシアヘドロンのミンコフスキー和成分に対応することを示し、分配的ラティスと線形拡張の列挙を用いた効率的な計算が可能になる。

ABSTRACT

We study partitions of the symmetric group which have desirable geometric properties. The statistical tests defined by such partitions involve counting all permutations in the equivalence classes. These permutations are the linear extensions of partially ordered sets specified by the data. Our methods refine rank tests of non-parametric statistics, such as the sign test and the runs test, and are useful for the exploratory analysis of ordinal data. Convex rank tests correspond to probabilistic conditional independence structures known as semi-graphoids. Submodular rank tests are classified by the faces of the cone of submodular functions, or by Minkowski summands of the permutohedron. We enumerate all small instances of such rank tests. Graphical tests correspond to both graphical models and to graph associahedra, and they have excellent statistical and algorithmic properties.

研究の動機と目的

• 非パラメトリック統計における順位検定の数学的理論を、遺伝子発現解析への応用を動機として、代数的組合せ論と幾何学に基づいて構築すること。
• 順位検定を置換の統計によって誘導される対称群 $S_n$ の分割として特徴づけること。
• 凸順位検定を、ブレード配置を粗くするポリトープ的ファンおよび半グラフイドに対応させること。
• 単調関数的順位検定が $(n-1)$-次元の置換体のミンコフスキー和成分と一対一対応することを示すこと。
• グラフ的順位検定、グラフアソシアヘドロン、およびグラフ上のチューブ構造の間の同値性を確立し、p値の効率的計算を可能とすること。

提案手法

• 順位検定を $\tau: S_n \to T$ とみなす（$T$ は統計の集合）ことで、$\tau(\pi)$ の値が等しい置換の同値類への $S_n$ の分割を誘導する。
• 二つの同値な置換の交差の任意の線形拡張が同じクラスに属するという公理を用いて、事前凸順位検定を定義する。
• 事前凸順位検定の各クラスを、$[n]$ 上の半順序集合 $P$ の線形拡張 $\mathcal{L}(P)$ の集合として表現する。
• 半順序集合の順序理想の分配的ラティスを用いて線形拡張の数を計算し、これにより各検定クラスのサイズ、つまりp値が得られる。
• グラフ的順位検定では、グラフ $G$ 上のチューブ構造の $G$-ツリー表現を用い、多項係数による再帰的計算で線形拡張の数を求める。
• ヒューリスティクスと最適化されたデータ構造を用いた線形拡張の列挙のための効率的アルゴリズムを実装し、ソフトウェアは www.bio.math.berkeley.edu/ranktests/ で入手可能。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非パラメトリック統計における順位検定は、どのように幾何的・組合せ的対象として形式化できるか？
• RQ2 順位検定が置換空間内に凸領域に対応するための条件は何か？
• RQ3 単調関数は順位検定の幾何学的性質およびポリトープ的ファンとどのように関係するか？
• RQ4 グラフアソシアヘドロンを介して、グラフモデルと順位検定の明確な関係は何か？
• RQ5 p値推定のための順序集合の線形拡張の数を、どのように効率的に計算できるか？

主な発見

• $n \leq 5$ に対するすべての凸順位検定が分類され、ブレード配置を粗くするポリトープ的ファンと完全に対応することが示された。
• 単調関数的順位検定は、$(n-1)$-次元の置換体のミンコフスキー和成分と一対一対応し、幾何的特徴づけが得られた。
• グラフ的順位検定はグラフアソシアヘドロン $\Delta_G$ の面構造と同値であり、検定クラスの数は $G$-カタラン数で与えられる。
• パスグラフの場合、クラス数は $n$ 番目のカタラン数 $\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ であり、サイクルの場合は $\binom{2n-2}{n-1}$ である。
• 順序集合 $P$ の線形拡張の数は、その順序理想の分配的ラティスを用いて計算可能であり、この計算は #P-完全ではあるが、効率的なヒューリスティクスを用いることができる。
• チューブに基づく順位検定のクラスサイズは、再帰的公式 $|\tau^{-1}(\mathbf{T})| = \binom{\sum |\mathbf{T}^i|}{|\mathbf{T}^1|,\ldots,|\mathbf{T}^k|} \prod |\tau^{-1}(\mathbf{T}^i)|$ で計算可能である。