[論文レビュー] Geometry of symmetric group-based models

Dimitra Kosta, Kaie Kubjas|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

14-3-3 protein interactions参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、対称的群に基づく系統樹モデルのための代数幾何学的枠組みを構築し、数値代数幾何学的手法を用いて最尤推定（MLE）と埋め込み問題を分析する。特に、三本の枝を持つ木におけるCFNモデルでは、パラメータの発散によりMLEが存在しない場合があることが示され、これは代数的手法を用いて初めて明らかにされた結果である。

ABSTRACT

Phylogenetic models have polynomial parametrization maps. For symmetric group-based models, Matsen studied the polynomial inequalities that characterize the joint probabilities in the image of these parametrizations. We employ this description for maximum likelihood estimation via numerical algebraic geometry. In particular, we explore an example where the maximum likelihood estimate does not exist, which would be difficult to discover without using algebraic methods. We also study the embedding problem for symmetric group-based models, i.e. we identify which mutation matrices are matrix exponentials of rate matrices that are invariant under a group action.

研究の動機と目的

• 対称的群に基づくモデルにおけるリーフ確率の同時分布の半代数的集合を多項式不等式を用いて特徴付けること。
• 数値代数幾何学的手法を用いて、系統樹モデルにおける最尤推定（MLE）の存在性と計算を調査すること。
• 群に不変なレート行列の行列指数として表現可能な変異行列を特定することによって、埋め込み問題を解くこと。
• 特に非コンパクトなパラメータ空間において、MLEが存在しないことを検出するための計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• Matsenのフーリエ座標による記述を用い、対称的群に基づくモデルにおけるリーフ確率の生物学的に意味のある領域を定義する多項式不等式を導出する。
• 厳密な不等式を緩和して境界成分を含め、PHCpackとHCPackを用いた数値代数幾何学的ツールで尤度関数のすべての複素数の臨界点を計算する。
• ホモトピー続行法を用いたアルゴリズム1を適用し、167個の臨界点を44個の境界成分に対して計算し、Zariski閉包および低次元のストラトムを含む。
• 対数尤度値を評価し、緩和されたおよびより厳しい不等式制約（経路に基づく依存性から導かれたものも含む）を満たすかをチェックすることでMLEを同定する。
• レート行列とその指数を用いたパラメータ化により、臨界点がモデルの像に属するかをテストし、特にパラメータが無限大に近づく場合を特に注目する。
• G-埋め込み可能な変異行列を、対称的で群に不変であり、かつ群に不変なレート行列の行列指数として表現可能なものとして特徴づけ、CFNおよびKimura 3Pモデルの結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的群に基づくモデルにおいて、最尤推定がどのような条件下で存在しなくなるか、そしてそれが代数的にどのように検出できるか。
• RQ2 フーリエ座標と多項式不等式を用いて、リーフ確率の半代数的記述をどのように導出できるか。
• RQ3 対称的群に基づくモデルにおける尤度関数の臨界点の構造は何か、そして境界成分とどのように関係しているか。
• RQ4 対称的かつ群に不変な変異行列のうち、群に不変なレート行列の行列指数として表現可能なものはどれか、そしてその代数的特徴づけはどのように行えるか。

主な発見

• 三本の枝を持つ木 $K_{1,3}$ におけるCFNモデルでは、データベクトル $(100,11,85,55,56,7,75,8)$ に対してMLEが存在しない。これは、パラメータが無限大に近づく際にグローバル最大値が達成されるためである。
• 尤度関数は44個のイデアルにまたがる167個の複素数の臨界点を持つ。そのうち97個が実数解で49個が正の解であるが、$q_{ijk} = 0$ のとき、上位候補のいずれの解に対してもすべての必要な不等式制約を満たさない。
• 尤度値が最も高い2つの解は $-0.0729$ を達成するが、両方とも $q_{000}q_{101} - q_{100}q_{001} eq 0$ という経路依存不等式を満たさず、モデルの像に属しないことが判明した。
• 7番目の臨界点は対数尤度 $-0.0737$ を示し、これは1本の辺の時間 $ ilde{ heta}^{(e_2)}$ が無限大に近づくパラメータ化に対応する（$ ilde{ heta}^{(e_2)} = (- ilde{ heta}^{(e_2)}, ilde{ heta}^{(e_2)}) o (- ilde{ heta}^{(e_2)}, ilde{ heta}^{(e_2)})$）。これによりMLEの非存在が確認された。
• CFNモデルのZariski閉包の次数は92であり、Hostenらが計算したML次数と一致し、代数的枠組みの妥当性が裏付けられた。
• 標準的な数値最適化手法ではMLEの非存在性を逃す可能性があることが明らかになった。非コンパクトな系統樹モデルにおいて、厳密な解析を行うには代数的手法の必要性が強調された。