[論文レビュー] Geometry of the arithmetic site

Alain Connes, Caterina Consani|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2015

Polynomial and algebraic computation参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、正の整数の乗法的半群から集合への関手のトポスとして定義される算術的サイトを導入する。このトポスには特徴的1の構造層が備えられ、それが有理数のアデール類空間を最大コン pact部分群で割ったものの幾何的実現を、トロピカルな実半体上での点として与える。この点におけるフロベニウス作用は、アデール類空間へのR+の乗法的作用と一致し、ハッセ＝ヴェイユ型の公式を通じて完全なリーマンゼータ関数が得られる。

ABSTRACT

We introduce the Arithmetic Site: an algebraic geometric space deeply related to the non-commutative geometric approach to the Riemann Hypothesis. We prove that the non-commutative space quotient of the adele class space of the field of rational numbers by the maximal compact subgroup of the idele class group, which we had previously shown to yield the correct counting function to obtain the complete Riemann zeta function as Hasse-Weil zeta function, is the set of geometric points of the arithmetic site over the semifield of tropical real numbers. The action of the multiplicative group of positive real numbers on the adele class space corresponds to the action of the Frobenius automorphisms on the above geometric points. The underlying topological space of the arithmetic site is the topos of functors from the multiplicative semigroup of non-zero natural numbers to the category of sets. The structure sheaf is made by semirings of characteristic one and is given globally by the semifield of tropical integers. In spite of the countable combinatorial nature of the arithmetic site, this space admits a one parameter semigroup of Frobenius correspondences obtained as sub-varieties of the square of the site. This square is a semi-ringed topos whose structure sheaf involves Newton polygons. Finally, we show that the arithmetic site is intimately related to the structure of the (absolute) point in non-commutative geometry.

研究の動機と目的

• Qのアデール類の非可換空間を捉える代数幾何学的対象を構成し、リーマンゼータ関数の幾何的解釈を可能にする。
• 有限体のゼータ関数のq→1の極限をモデル化する特徴的1の構造層を備えたトポス的枠組みを定義する。
• アデール類空間へのR+×の作用と、トロピカル半体R+max上の幾何的点におけるフロベニウス自己同型の間の対応を確立する。
• 算術的サイトが1パラメータ族のフロベニウス対応を備え、リーマン予想に対する非可換幾何的・アプローチを可能にする。
• その層のK-理論から得られるC*-代数を介して、非可換幾何学における「絶対点」の概念と算術的サイトを関連付ける。

提案手法

• 乗法的半群N×から集合の圏への関手の圏として定義される基盤となるトポスを、ŝN×と表記する。
• Frobenius自己同型を通じて作用する、特徴的1の半環Zmax = (Z ∪ {−∞}, max, +) としての構造層をトポスに備える。
• 算術的サイトのR+max上での幾何的点を、A_Q / Q× に最大コン pact部分群ĤZ×の作用を施した商として実現する。
• R+max上でのフロベニウス自己同型Frλ(x) = x^λと、アデール類空間へのR+×の乗法的作用との間の対応を確立する。
• ブール半環B上のテンソル積Zmin ⊗B Zmin を用いて、半環的トポスとしての算術的サイトの平方を構成し、ニュートン多角形の構造を含む。
• フロベニウス対応をその平方の部分多様体として定義し、縮約構造Conv≥(Z×Z) を介してそれらの合成を研究し、リーマンゼータ関数の力学的性質と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Qのアデール類空間を最大コン pact部分群で割ったものとして、明確に定義された代数的幾何的対象の幾何的点として実現可能か？
• RQ2 R+×がアデール類空間に作用するのと、特徴的1の構造を持つトポス上の点における幾何的フロベニウス作用が一致するか？
• RQ3 q→1の極限において、特徴的1の構造層を備えたトポスを用いて、ハッセ＝ヴェイユの公式がゼータ関数に適応可能か？
• RQ4 算術的サイトの平方において、フロベニウス対応はどのように生じ、その合成則は何か？
• RQ5 算術的サイトは、特に絶対点との関係において、リーマン予想の非可換幾何的枠組みにおいて果たす役割は何か？

主な発見

• R+max上での算術的サイトの幾何的点の集合は、自然にA_Q / Q× に最大コン pact部分群ĤZ×の作用を施した商に同型である。
• これらの点におけるフロベニウス自己同型Frλの作用は、アデール類空間へのR+×の乗法的作用と正確に一致する。
• 算術的サイトは、ニュートン多角形の構造を用いて定義される、その平方の部分多様体として実現される1パラメータ族のフロベニウス対応を備える。
• 算術的サイトの縮約平方は、構造層Conv≥(Z×Z) を備えた半環的トポスとしての構造を持ち、フロベニウス対応の合成を符号化する。
• ℓ²(Z) 上のコンパクト作用素のC*-代数の層として見たŝN×における層のスターファイルは、無限次元分離的マトロイドC*-代数を生成し、そのK0群はトポスの点を同型を除いて分類する。
• 算術的サイトは、非可換なアデール類の空間を幾何的に実現し、q→1の極限においてリーマンゼータ関数をハッセ＝ヴェイユのゼータ関数として埋め込む。