[論文レビュー] Profinite iterated monodromy groups arising from quadratic polynomials

Richard Pink|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、特性 ≠ 2 の体上の二次多項式のプロフィニート反復モノドロミー群 $G$ を研究し、それが根付き2分木の自己同型群の自己同型的閉部分群として与えられることを示している。$G$ の同型型は、後期的軌道の組合せ的型にのみ依存し、明示的な再帰的生成子が構成されている。正規化群と算術的モノドロミー群は、複素解析的トポロジーに依存せずに群論的手法によって特定されている。

ABSTRACT

We study in detail the profinite group G arising as geometric étale iterated monodromy group of an arbitrary quadratic polynomial over a field of characteristic different from two. This is a self-similar closed subgroup of the group of automorphisms of a regular rooted binary tree. (When the base field is \C it is the closure of the finitely generated iterated monodromy group for the usual topology which is also often studied.) Among other things we prove that the conjugacy class and hence the isomorphism class of G depends only on the combinatorial type of the post-critical orbit of the polynomial. We represent a chosen instance of G by explicit recursively defined generators. The uniqueness up to conjugacy depends on a certain semirigidity property, which ensures that arbitrary conjugates of these generators under the automorphism group of the tree always generate a subgroup that is conjugate to G. We determine the Hausdorff dimension, the maximal abelian factor group, and the normalizer of G using further explicit generators. The description of the normalizer is then used to describe the arithmetic étale iterated monodromy group of the quadratic polynomial. The methods used are purely group theoretical and do not involve fundamental groups over \C at all.

研究の動機と目的

• 特性 $\neq 2$ の体上の二次多項式から生じる幾何的および算術的反復モノドロミー群を分類すること。
• 算術的モノドロミー群が幾何的モノドロミー群に等しくなる条件、特に体の算術的性質との関係を特定すること。
• 完全に群論的技法に依拠して、プロフィニート反復モノドロミー群の明示的再帰的生成子を構成すること。
• 群のハウスドルフ次元、最大アーベル商、および正規化群を計算すること。
• サイクロトミック的特徴を用いて、ガロア群が正規化群の幾何的群による商に作用する様子を記述すること。

提案手法

• 研究は、トポロジカル的または複素解析的基礎を一切用いず、完全にプロフィニート群論的手法に依拠している。
• 幾何的反復モノドロミー群 $G$ は、$\mathbb{P}^1 \setminus P$ のエタール基本群が $\mathop{\rm Aut}(T)$ に写される像として構成される。ここで $T$ は正則な根付き2分木である。
• 後期的軌道の組合せ的型に基づいて、$G$ の明示的生成子が再帰的に定義される。
• 正規化群は明示的生成子を用いて計算され、これが算術的モノドロミー群 $G^{\rm arith}$ の構造を特定するために用いられる。
• ガロア群 $\mathop{\rm Gal}(\bar{k}/k)$ の $G^{\rm arith}/G$ への作用は、サイクロトミック的特徴および $\prod_{i=1}^\infty \mathbb{F}_2$ や $\mathbb{Z}_2^\times / \{\pm 1\}$ への明示的準同型を用いて記述される。
• 半剛性（semirigidity）を用いて、$G$ の共軛類が後期的軌道の型にのみ依存することを証明し、共軛を除いて一意的であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プロフィニート反復モノドロミー群の同型型は、二次多項式の力学的性質にどのように依存するか？
• RQ2 ベース体 $k$ にどのような条件を課すと、算術的モノドロミー群が幾何的モノドロミー群に等しくなるか？
• RQ3 幾何的モノドロミー群の正規化群は、再帰的生成子を用いてどのように明示的に記述できるか？
• RQ4 $G^{\rm arith}/G$ におけるガロア作用の構造は何か？
• RQ5 再帰的構造から、群のハウスドルフ次元および最大アーベル商を計算できるか？

主な発見

• 幾何的反復モノドロミー群 $G$ の同型型は、二次多項式の後期的軌道の組合せ的型にのみ依存する。
• 正規化群は明示的に計算され、場合に応じて $\prod_{i=1}^\infty \mathbb{F}_2$、$\prod_{i=0}^\infty \mathbb{F}_2$、または $\mathbb{Z}_2^\times / \{\pm 1\}$ に同型である。
• ガロア群による $G^{\rm arith}/G$ への作用は、パrameter $s$ と $r$ に応じて、$\bar{\rho} = (\vartheta_1, \vartheta_1, \ldots) \circ \mathop{\rm cycl}$、$(\vartheta_2, \vartheta_2, \ldots) \circ \mathop{\rm cycl}$、$(\vartheta_1, \vartheta_2, \vartheta_2, \ldots) \circ \mathop{\rm cycl}$、または $\mathop{\rm cycl} \mod \{\pm 1\}$ で与えられる。
• $G^{\rm arith}/G$ の位数は、$s \geq 2$ かつ $r \geq 4$、または $s=1$ かつ $r \geq 3$ のとき 2 を割る。
• $k$ が4乗根の1の原始根を含み、$s \geq 2$ かつ $r \geq 4$ ならば、$G^{\rm arith} = G$ である。
• $k$ がその素体上に有限生成であり、$s=1$ かつ $r=2$ ならば、$G^{\rm arith}/G$ は $\mathbb{Z}_2^\times / \{\pm 1\}$ の有限指数部分群である。