[論文レビュー] Geometry on Lie algebroids I: compatible geometric structures on the base

Alexei Kotov, Thomas Strobl|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Lie代数小形またはCartan-Lie代数小形の基底多様体 $M$ における整合性のある幾何構造を調査し、リーマン的整合性が誘導されるfoliationがリーマン的であることを示している。これにより、商空間 $Q = M/\sim$ がリーマン的準同型を通じて計量を引き継ぐことができる。シンプレクティック構造や一般化リーマン構造の場合は、$Q$ 上の還元幾何が異なる場合があり、例えばポアソン多様体のシンプレクティック実現が得られる。本研究では、任意のLie代数小形が適切なLie群小形に統合可能である場合、その基底に整合性のあるリーマン計量が存在することを証明しており、また自由Lie代数小形には、任意のアンカーバンド接続から一意に定まるCartan接続が存在することを確立している。

ABSTRACT

The object of our study is a Lie algebroid $A$ or a Cartan-Lie algebroid $(A, abla)$ (a Lie algebroid with a compatible connection) over a base manifold $M$ equipped with appropriately compatible geometrical structures. The main focus is on a Riemannian base $(M,g)$, but we also consider symplectic and generalized Riemannian structures. For the Riemannian case, we show that the compatibility implies that the foliation induced by the Lie algebroid is a Riemannian foliation; thus, in particular, if the leaf space $Q = M/\!\sim$ is smooth, $Q$ permits a metric such that the quotient projection is a Riemannian submersion. For other structures on $M$ with a smooth leaf space $Q$, the reduced geometrical type on $Q$ can be different: for example, $(M,\omega)$ symplectic provides in general only a symplectic realization of a Poisson manifold $(Q,\mathcal{P})$. Building upon a result of del Hoyo and Fernandes, we prove that any Lie algebroid integrating to a proper Lie groupoid admits a compatible Riemannian base. We also show that, given an arbitrary connection on an anchored bundle, there is a unique Cartan connection on the corresponding free Lie algebroid.

研究の動機と目的

• Lie代数小形またはCartan-Lie代数小形の基底多様体 $M$ における幾何構造（リーマン的、シンプレクティック的、一般化リーマン的）の整合性を調査すること。
• このような整合性が誘導されるfoliationおよび商空間 $Q = M/\sim$ の構造に与える影響を特定すること。
• 商空間 $Q$ がリーマン計量やポアソン構造などの明確な幾何構造を引き継ぐ条件を確立すること。
• 任意のLie代数小形が適切なLie群小形に統合可能である場合、その基底に整合性のあるリーマン計量が存在することを証明すること。
• アンカーバンド接続から誘導される自由Lie代数小形上に、Cartan接続が存在し、それが一意に定まることを示すこと。

提案手法

• Lie代数小形およびCartan-Lie代数小形の枠組みを用い、Lie代数小形構造と整合する接続に焦点を当てる。
• del HoyoとFernandesの適切なLie群小形統合に関する結果を応用し、基底上に整合性のあるリーマン計量の存在を導出する。
• アンカーマップを介して$M$ 上に誘導されるfoliationを分析し、整合性条件の下での幾何的性質を検討する。
• 任意の接続を備えたアンカーバンドから生成される自由Lie代数小形上に、一意なCartan接続を構成する。
• 微分幾何的技法を用いて、特にリーマン的およびシンプレクティック的場合に、幾何構造が商空間 $Q$ にどのように還元されるかを検討する。
• リーマン的準同型写像およびポアソン実現の理論を活用し、$M$ の幾何と$Q$ の幾何との関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lie代数小形の基底多様体 $M$ にリーマン計量 $g$ が存在する場合、どのような条件下で $M$ 上の誘導されるfoliationがリーマン的foliationとなるか？
• RQ2 特にリーマン的およびシンプレクティック的場合に、商空間 $Q = M/\sim$ の幾何は元の $M$ 上の幾何構造とどのように関係するか？
• RQ3 任意のLie代数小形が適切なLie群小形に統合可能である場合、その基底に整合性のあるリーマン計量を備えることができるか？
• RQ4 アンカーバンド上の接続と、それに対応する自由Lie代数小形上に誘導されるCartan接続との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 シンプレクティック基底 $(M,\omega)$ の場合、商空間 $Q$ はどのような幾何構造を引き継ぐか？

主な発見

• 基底多様体 $M$ 上のリーマン計量 $g$ がLie代数小形構造と整合する場合、$M$ 上に誘導されるfoliationはリーマン的foliationである。
• 商空間 $Q = M/\sim$ が滑らかである場合、その上にリーマン計量が誘導され、射影 $M \to Q$ がリーマン的準同型写像となる。
• シンプレクティック基底 $(M,\omega)$ の場合、一般に商空間 $Q$ にはポアソン構造しか持たず、$(M,\omega)$ は $(Q,\mathcal{P})$ のシンプレクティック実現として機能する。
• 任意のLie代数小形が適切なLie群小形に統合可能である場合、その基底に整合性のあるリーマン計量が存在する。
• 任意のアンカーバンド接続が与えられたとき、それに対応する自由Lie代数小形上に一意なCartan接続が存在する。
• Cartan接続の構成は自然であり、初期のアンカーバンド接続によって完全に決定される。